Р(х) = а0 + а1х + а2x2 +... + аnхn любых степеней с рациональными коэффициентами а0, а1, + а2,... аn счетно.
Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.
Реляционная алгебра
Объектами, над которыми в реляционной (лат. relation - связь, отношение) алгебре выполняются операции, являются и n-арные отношения. Так как отношения - это множества, то над ними можно выполнять теоретико-множественные операции, такие как объединение, пересечение, разность, симметрическая разность и дополнение. Проиллюстрируем это примером.
Пример 1.22.
Пусть даны бинарные отношения:
Р= {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4), (4,3)};
Q= {(1,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3)},
являющиеся подмножествами множества АxА=А2, где А- {1,2,3,4}.
Объединение множеств Р и Q образуют все пары, входящие в эти множества: P 
Q = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3)}.
Пересечение множеств Р и Q - это множество, элементы которого входят одновременно в оба множества:
Разность множеств P\Q имеет вид:
/Л 0= {(1,2), (2,3)}.
Аналогично находим:
Q\P={(3,1),(3,2),(3,3)}.
Симметрическая разность множеств 
:
Для нахождения дополнений множеств Р и Q сначала необходимо определить универсальное множество I. Так как | A| = 16, то универсальное множество I содержит 16 элементов:
I = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3,3), (3,4), (4,1), (4, 2), (4,3), (4,4)}.
Следовательно:
Р = {(1,1), (1,4), (2,1), (2,2), (2,4), (3,1), (3,2), (3, 3), (4,1), (4,2), (4,4)};
Q = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2), (4,4)}.
В реляционной алгебре кроме теоретико-множественных используются и другие операции. Рассмотрим некоторые их них:
а) обмен позициями. Пусть n-арное отношение представлено множеством F кортежей длины п. Пронумеруем все элементы, входящие в кортеж. Суть операции обмена позициями, обозначаемой (i j) F, заключается в том, что знаки, стоящие в одном и том же кортеже на местах i и j, меняются местами (i,j=1,2,...,n; i=j ). Эта операция выполняется над всеми кортежами множества F.
Пример 1.23.
Рассмотрим отношение вида:
F= {(0,0,1,1,1), (0,1,1,1,0), (1,1, 0,0,1)},
являющееся подмножеством множества А5, где А = {0, 1}. В множестве F три кортежа. Применим к ним операцию обмена позициями, приняв i = 3,j = 5. Тогда получим новое отношение
(3 ~ 5)F= {(0,0,1,1,1), (0,1,0,1,0), (1,1,1,0, 0)}, не совпадающее с F. Очевидно, что если к множеству (3 ↔ 5) F снова применить ту же операцию при i = 3, j ≠ 5, то получим множество F;
б) расширение отношения. Эта операция имеет обозначение Va F, где F -множество кортежей длины я, a - некоторый элемент, записываемый слева в каждый кортеж множества F. В результате получится новое множество с тем же числом кортежей, но длина каждого кортежа равна n + 1.
Пример 1.24.
Пусть F= {{a,b,c), (a,b,b), (b,b,b)}. Возьмем в качестве элемента а цифру 6. Тогда получим множество R:
R = V6 F= {(6, а, b, с), (6, a, b, b), (6, b, b, b)}.
Если операцию расширения отношения применить к двум множествам F и Т, используя в качестве элемента а эти же символы F и T, а затем выполнитьоперацию объединения двух получившихся множеств, то получим новое отношение Q, представляющее собой композицию отношений F и Т:
в) исключение позиции. Обозначение этой операции имеет вид (i,j,..., k ) F, где i,j,..., k - номера позиций кортежа, из которых удаляются элементы. Эту операцию применяют ко всем кортежам множества F. В результате длина каждого кортежа уменьшится и могут появиться повторы одних и тех же укороченных кортежей. Все повторы необходимо удалить. Тогда останется множество, являющееся результатом операции исключения позиции.
Пример 1.25
Исключив 2-й и 4-й элементы в каждом кортеже множества F= {(а, b, b, с, d), (а, а, b, с, d), (а, с, с, с, d)}, получим новое множество М:
M=(2,A)F={(a,b,d),(a,c,d));
г) удвоение позиции. Пусть F— множество кортежей длины n. Выберем J- ю позицию какого-либо кортежа и повторно запишем находящийся в этой позиции элемент в заранее указанное место в том же кортеже. Тем самым мы выполним операцию удвоения позиции. Условное обозначение этой операции имеет вид Dj F. Выполняется она для каждого кортежа множества F.
Пример 1.26.
Рассмотрим отношение вида:
F= {(1,3,4), (1,3,5), (5,6,8), (4,5,7)}.
Допустим, что j-й элемент повторно записывается в каждый кортеж справа. Пусть j = 2, тогда
D2F= {(1, 3,4, 3), (1, 3, 5, 3), (5, 6, 8,6), (4, 5, 7, 5)}.
Рассмотренных операций достаточно для того, чтобы получить представление о том, что является объектом изучения в реляционной алгебре. С другими операциями этой алгебры можно ознакомиться, обратившись к специальной литературе. Например, в некоторых источниках рассмотрена операция конкатенации (расширенного декартова произведения двух отношений).
Основы логики
