Объединение множеств А и В
Аналогично определяется объединение нескольких множеств. Пример 1.10.
а) Пусть А = {4, 5, 6}, В ={2,4, 6}.
Тогда А 
B ={2,4, 5,6}.
б) Пусть А - множество чисел, которые делятся на 2, а В - множество чисел, которые делятся на 3:
A = {2,4,6,...}, B={3,6,9,...}.
Тогда A B множество чисел, которые делятся на 2 или на 3:
АВ= {2, 3,4, 6, 8, 9,10,...}.
Разностью множества А и В называется множество А \ В, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В:
В отличие от двух предыдущих операций разность, во-первых, строго двухместна (т.е. только для 2-х множеств), а во-вторых, некоммутативная, т.е.:
Х\Y = Y\X. Для иллюстрации воспользуемся кругами Эйлера.
Разность множеств А и В
Пример 1.11.
а) A = {4, 5, 6}, В ={2,4, 6}.
А\В = {4,5}, В\А= {2}.
6) X={a,b,d},Y={b,d,e,h}.
X\Y={a}.
Y\X=\e,h}.
Симметрической равностью множеств А и В называется множество А + В:
A+B = (A\B) (B\A).
Для иллюстрации воспользуемся кругами Эйлера (рисунок 1.4).
Симметрическая разность множеств А и В
Пример 1.12.
а) A = {4,5,6},B={2,4,6}.
А\В={4,5},В\А= {2}, А+В = {2,4,5}.
б) Х={а, b, d), Y={b, d, e, h},X+ У= {а, е, h).
Для универсального множества U может быть определена операция дополнения.
Дополнением множества А называется множество А всех тех элементов х 
U, которые не принадлежат множеству A: A=U\A.
Для иллюстрации воспользуемся кругами Эйлера
Дополнение множества А
Пример 1.13.
Пусть А - множество положительных четных чисел. Тогда U - множество всех натуральных чисел и А - множество положительных нечетных чисел.
Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формул алгебры множеств. Например,
А 
(В 
С), (А \ В) + С - формулы алгебры множеств.
1. Коммутативность - переместительный закон.
2. Ассоциативность - сочетательный закон
3. Дистрибутивность — распределительный закон,
4. Закон де Моргана. Свойство дополнительных множеств.
а) 
(дополнение к объединению есть пересечение дополнений);
б) 
(дополнение к пересечению есть объединение дополнений).
5. Идемпотентность.
6. Поглощение.
Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Пример 1.19.
Множество А = {3, 6,..., 3n,...} счетно, т.к. А - бесконечное подмножество множества натуральных чисел, А 
N.
Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.
Пример 1.20.
Множество А = {О, 1,..., n,...} неотрицательных целых чисел счетно, множество В = {0, —1,..., -n,...} неположительных целых чисел тоже счетно, поэтому множество всех целых чисел
С = A 
B ={..., -n,...- 2, -1,0,1,2,..., п,...} тоже счетно.
Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида p/q, где р и q целые числа, счетно.
Если А = {а1 а2,...} и В = {b 1 b 2,...} - счетные множества, то множество всех пар С = {(a k, b п), k =1,2,...; n = 1,2,...} счетно.
Пример 1.21.
Геометрический смысл пары (а k Ьп) - точка на плоскости с рациональными координатами (qk, bn). Поэтому можно утверждать, что множество всех точек плоскости с рациональными координатами счетно.
