1. Докажите теорему об основных правилах логического вывода (см. приложение 3).
2. Придумайте не менее трёх своих правил логического вывода и убедитесь, что они следуют из основных правил (см. приложение 3).
3. Проанализируйте основные правила логического вывода и найдите несколько правил, которые следуют из других.
4. Проверьте двумя способами, есть ли логическое следование:
5. Правильны ли следующие рассуждения?
а) Если Анна знает алгебру, то она умеет решать алгебраические уравнения. Анна умеет решать алгебраические уравнения. Следовательно, Анна знает алгебру.
б) Если будет хорошая погода, мы пойдем в лес или купаться на речку. Мы не пошли ни в лес, ни на речку. Следовательно, погода испортилась.
в) Если я сдам ЕГЭ по математике на “отлично”, я поступлю в МГУ на мехмат. Я не сдал ЕГЭ на “отлично”, следовательно, я не поступлю в МГУ на мехмат.
г)з) Если мне купят “мерс”, то я поеду в институт. Если я сдам сессию хорошо, то поеду на Канары. Мне не купили “мерс”. Поэтому либо я не поеду на Канары, либо не поеду в институт.
д) Если я пойду завтра на первую пару, то буду должен рано встать. Если я пойду на дискотеку, то лягу спать поздно. Если я лягу поздно или встану рано, то буду спать не более 5 часов. Следовательно, если я буду спать не более 5 часов, то я должен пропустить завтра первую пару и пойти на дискотеку.
е) Если 6 составное число, то 12 – тоже составное. Если 12 – составное, то найдётся простое число, большее 12. Если существует простое, большее 12, то существует и составное, большее 12. Если 6 делится на 2, то 6 – составное. Число 12 – составное. Значит, 6 – составное число.
ж) Если будет холодно, то она наденет тёплое пальто, если рукав будет починен. Завтра будет холодно, и она наденет пальто, но рукав починен не будет. Значит, она не наденет тёплое пальто, или рукав будет починен.
з) 2 ¹ 5 и 6 £ 7. Если 2 = 5, то 6 > 7 при условии что 4 < 3. Ясно, что 3 £ 4 и 2 ¹ 5. Значит, из того, что 6 £ 7 не следует, что 2 = 5.
и) Если наступит весна, то распустятся цветы. Если цветы распустятся, то прилетят пчёлы в том случае, если их не спугнут шершни. Шершни спугнули пчёл. Значит, даже если наступит весна, то цветы не распустятся.
6. Проанализируйте следующее рассуждение: “Если 2 = 2, то 1 = 1. Значит, 3 = 3.“ Убедитесь, что оно неправильное с точки зрения логики. В то же время, с точки зрения математики в целом все утверждения в этом рассуждении истинны! Как объяснить этот “парадокс”?
7. Докажите следующие правила логического вывода:
а) A1 Ú … Ú An, A1 ® B, …, An ® B 
B;
б) A1 ® A2, A2 ® A3, …, An–1 ® An A1 ® An;
в) 
;
г) A1 ® (A2 ® (A3 ® (… ® (An–2 ® (An–1 ® An)) …))), 
.
8. Докажите, построив примеры формул F и G, что из утверждения “если F, то G ” не всегда следует “ F G ”.
9. Верно ли, что из “если F, то G ” следует, что “если F Ù H, то G Ù H ” для любой формулы H?
10. Верно ли, что из “ F G ” следует, “ FÙ H G Ù H ” для любой формулы H?
11. Что можно сказать о формуле G, если
а) F G и F º 0; б) G F и F º 1; в) F Ù G G Ù 
для некоторой формулы F; г) F Ù G G Ù для любой формулы F; д) F Ú G G для любой формулы F; е) F, G ® F F ® G для некоторой формулы F; ж) G 
; з) G ® G.
12. Вставьте слова “необходимо, но не достаточно”, “достаточно, но не необходимо”, “необходимо и достаточно”, “не необходимо и не достаточно”, чтобы полученные высказывания стали истинными. Пояснить необходимость вставленных слов.
а) Для делимости числа на 12 …, чтобы оно делилось на 3.
б) Для чётности натурального числа n …, чтобы число 5×n, было чётным.
в) Для делимости числа a×b на с …, чтобы а и b делились на с (a, b, c Î Z ).
г) Для того, чтобы х2 + у2 = 0 …, чтобы х = 0 и у = 0.
д) Для того, чтобы х2 – у2 = 0 …, чтобы х = 0 и у = 0.
е) Для того, чтобы треугольник был прямоугольным …, чтобы две его стороны были равны.
ж) Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости …, чтобы она была какой-либо прямой этой плоскости.
з) Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости …, чтобы она была перпендикулярна какой-либо прямой этой плоскости.
и) Для того, чтобы х2 = у2 …, чтобы х = у.
к) Для того, чтобы х < у …, чтобы |х| < |у|.
л) Для того, чтобы х2 – 5×х + 6 = 0 …, чтобы х = 3.
м) Для того, чтобы сумма чётного числа натуральных чисел была чётным числом, …, чтобы каждое слагаемое было чётным.
н) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырёхугольник, …, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.
13. Для каждого из следующих условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х2 – 2×х – 8 £ 0.
а) х = 0, б) х ³ –3, в) х > – 2,
г) х ³ – 1 и х £ 3, д) х ³ – 1 и х < 10, е) – 2 £ х £ 10.
14. Решите предыдущее упражнение для неравенств x2 – 5×x + 9 ³ 0 и x2 – 5×x + 9 < 0.
15. Выясните, какое из двух неравенств является следствием другого:
а) x ³ 0, x > 7, б) x + 8 > 0, x > –8, в) x + 2 > –1, x < 15,
г) x2 ³ 0, x > 0, д) x×(x + 1) > 0, x×(x – 3) > 0, е) |x2 + x| > 0, x2 > 9,
ж) x2 + 5×x – 6 > 0, x > 8, з) |x2 + 6×x – 6| > 0, x2 + 6×|x| – 8 > 0, и) 1 £ |x| < 1, x2 < 8.
16. Для каждого из следующих утверждений составьте обратные, противоположные и контрапозиционные. Какие из полученных утверждений Вы можете доказать, а какие – опровергнуть?
а) если р – нечётное простое число, то р2 – 1 делится на 8,
б) сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме произведений противоположных его сторон,
в) если а, b, c – длины сторон прямоугольного треугольника, то c2 = (a + b)2 – 2× 
,
г) если хорды окружности делят друг друга пополам, то они – диаметры,
д) сумма векторов, с началом в центре правильного n- угольника и концами в его вершинах равна нулевому вектору,
е) при любом x Î R выполнено 
> x.
