Применение метода координат в пространстве и смешанного и векторного произведений векторов к решению задач стереометрии

 

 

ЗАДАЧА

 

Дан неплоский четырехугольник. Доказать что два отрезка, каждый из которых соединяет середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

 

РЕШЕНИЕ

Пусть точки М, N, P, Q - середины сторон пространственного четырехугольника АВСД, а Е и F – середины его диагоналей. Обозначим О₁, О₂, О₃ – середины отрезков М N, Р Q и Е F. Отрезки М N, Р Q и Е F пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам тогда и только тогда, когда точки О₁, О₂, О₃ совпадают.

Рассмотрим систему координат (А, АВ,АС,АД) и найдем координат вершин данного четырехугольника, середин его сторон и середин его диагоналей. А(0,0,0), В(1,0,0), С(0,1,0), Д(0,0,1), М(½, 0,0), Р(½,½,0),

N(0, ½,½), Q(0,0, ½), Е(0, ½,0), F(½,0, ½). Теперь найдем координаты точек О₁, О₂, О₃. О₁(¼, ¼, ¼), О₂(¼, ¼, ¼), О₃ (¼, ¼, ¼).

Так как точки О₁, О₂, О₃ имеют одинаковые координаты в данной системе координат, то значит эти точки совпадают, т.е. середины отрезков М N, Р Q и Е F совпадают. ■

 

6.69. В неплоском шестиугольнике противоположные стороны попарно параллельны. Доказать, что а)противоположные стороны равны; б)диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6.70. Доказать, что в любом неплоском четырехугольнике середины всех сторон являются вершинами параллелограмма.

6.71.Точки М и Р являются серединами сторон АВ и СД пространственного четырехугольника АВСД. Доказать, что середины диагоналей двух четырехугольников АМРД и ВМРС являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.

6.72. В тетраэдре АВСД ребра АВ, АС, ДВ, ДС разделены точками M, N,

P, Q в одном и том же отношении λ. Доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом.

6.73. На сторонах АВ, ВС, СД, ДА пространственного четырехугольника АВСД выбраны точки А₁, В₁, С₁, Д₁ так, что А А₁: А₁В = ДС₁: С₁С = λ,

А Д₁: Д₁Д = ВВ₁: В₁С = μ. Доказать, что четырехугольник А₁В₁С₁Д₁ является плоским и точка, делящая диагональ А₁С₁ в отношении μ, совпадает с точкой, делящей диагональ В₁ Д₁ в отношении λ.

6.74. Дан тетраэдр АВСД и точка М на ребре АВ. Доказать, что середины отрезков АД, ВС, МД, МС лежит в одной плоскости.

6.75. Доказать, что в любом тетраэдре четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3: 1, начиная от вершин.

 

ЗАДАЧА

 

Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д_1. Точки М, Р, К являются серединами ребер СС₁, АВ, С₁Д₁. Найти отношение объемов тетраэдров АВДА₁ и Д₁МРК.

 

РЕШЕНИЕ

Введем базис {А В, АД, АА₁ }. Найдем координаты векторов Д₁К, Д₁М, Д₁Р в этом базисе.

Д₁К = Д₁С₁/ 2 = АВ / 2 Д₁К (½,0,0).

Д₁М = Д₁С₁ + С₁С / 2 = АВ – АА₁ /2 Д₁М (1, 0,- ½).

Д₁Р = Д₁Д + ДА + АВ / 2 = АВ /2 - АД - АА₁ Д₁Р (½, -1,-1)

Найдем объемы данных тетраэдров.

V_АВДА1 = |А В АД АА₁ |/ 6, V_Д1МРК = | Д₁К Д₁М Д₁Р |/ 6,

Следовательно, V_АВДА1: V_Д1МРК = |А В АД АА₁ |: | Д₁К Д₁М Д₁Р | (*)

Теперь выразим смешанное произведение векторов Д₁К Д₁М Д₁Р, зная их координаты в базисе {А В, АД, АА₁ }.

| ½ 0 0 |

Д₁К Д₁М Д₁Р = | 1 0- ½ | (А В АД АА₁) = - ¼ (А В АД АА₁)

| ½ -1 -1 |

Из формул (*) и (**) получаем, что V_АВДА1: V_Д1МРК = ¼.

 

ОТВЕТ. V_АВДА1: V_Д1МРК = ¼.

 

 

6.76. Из вершины произвольного параллелепипеда проведены три диагонали прилежащих граней. Пользуясь свойствами смешанного произведения, выяснить, какую часть объема параллелепипеда составляет объем пирамиды, боковыми ребрами которой служат эти диагонали.

6.77. Точки А ', В', С ' делят ребра MА, МВ, МС тетраэдра МАВС в отношениях (МА, А') = λ₁, (МВ, В') = λ₂,(МС, С') = λ₃. Найти отношение объемов тетраэдров МАВС и МА'В'С'.

6.78. Пирамида МАВСД, основанием которой является параллелограмм АВСД, пересечена плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра МС. Найти отношение объемов многогранников, на которые это плоскость делит данную пирамиду.

6.79. Объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром а равен а³/6. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

6.80. Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁. Найти отношение объемов этого параллелепипеда и тетраэдра АВ₁СД₁.

6.81. Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁, Точки М, Р, К являются серединами ребер АА₁, Д₁С₁, ВС. Найти отношение объемов тетраэдра

А₁МРК и данного параллелепипеда.

6.82. Пользуясь векторным произведением, доказать, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле S = ½ АВ АС sin А.

6.83. Все плоские углы при вершине О тетраэдра ОАВС прямые. Доказать, что квадрат площади грани АВС равен сумме квадратов площадей граней РАВ, ОВС, ОСА.

6.84. Найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого равны а, b, с, плоскостью, проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины.

 

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 6

 

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

 

6.4. а) А₁(0,-3,4), А₂(2,0,4), А₃(2,-3,0); б) А₁(0, ,4), А₂(-3,0,4), А₃(-3, ,0).

6.5. АВ = ДС, ВС = АД, СД = ДЕ.

6.7. а) Д(6,5,7), Е(1,3,7); б) Д(-1,4,-3), Е(1, 3/2, -1).

6.8. В₁(3,6,3), С₁(7,7,3), Д₁(8,3,0), С(5,4,4).

6.9. а) Да, б) нет, в) да, г) нет.

6.10. а) (2/3, 10/3, 7/3), б) (9/2, 0,0), в) (3, 5 + 2√2)/3, -3)

6.11. а) (-3, ½, 3), б) (17,6,-14), в) (-2,13,6).

6.12. С(4,-5,-2).

6.13. Пересекает ось Оz.

6.14. Да, (-3/2, 5/2, 11).

6.15. а) (7/4, ½, 11/12), б) (13/10, ½, 73/10).

6.17. Соs А = -89/91, Соs В = 23 / 77, Соs С = 36 / 143.

6.18. а) А₁В₁ = 5, В₁В₂ = , С₁С₂ = , б) ОМ = 5, ОN = ,

ОР = 5, ОQ = .

6.19. .

6.22. 7, /2, /2.

6.23. (0,0,14/9).

6.24. (0,1,-2).

6.25. (1/2, 1, 3/2), r = /2.

6.28. , .

6.29. АМ = /2, АН = .

6.30. Указание. По свойству биссектрисы АД Δ АВС ВД: ДС = АВ: АС.

6.31. а) Да, б) нет, в) да, г) нет.

6.32. а) Да, б) нет, в) нет, г) да.

6.34. а), б) и г) - левая, б) и д) – правая.

6.35. а), в) и г) – левая, б) и д) – правая.

6.36. базис правый.

6.37. а) х׳ = х – ½ у + 7z, у ׳ = ¼ у – ½ z, z ׳ = 2z;

б) х׳ = х + 2у - 5, у ׳ = х + у + 5, z ׳ = 1/5 z + 2/5;

в) х׳ = - х + 1, у ׳ = у – 1, z ׳ = - z + 2;

г) х׳ = х - 2, у ׳ = у – 5, z ׳ = z + 1;

д) х׳ = 5/8 х + 1/8 у + 3/8 z, у ׳ = ¾ х – ¼ у + ¼ z + 1,

z ׳ = 3/8 х – 1/8у – 3/8 z.

6.38. х = - ½ х׳ + ½ у׳ + ½ z׳ + ½, у = - ½ х׳ - ½ у׳ + ½ z׳ + ½,

z = - ½ х׳ - ½ у׳ - ½ z׳ + ½.

6.39. х׳ = - х – у – z + 1, у ׳ = у, z ׳ = z.

6.40. х = - ½ х׳ + ½, у = - ½ у׳ + ½, z = - ½ z׳ + ½.

6.41. а) х = х ׳ + 3, у = у ׳ – 4, z = z ׳ + 8

б) х = 4х ׳ – у ׳– z ׳, у = 3х ׳ + у ׳ – z ׳, z = - 6х ׳ - 5z ׳

6.42. а), б), в), д) - являются, г) – не являются.

6.43. М(а/2, а/2, а/2)

6.44. (11а, -9а, 5а/2)

6.45. а) -87, б) 204, в) 57, г) 0.

6.46. а) -29, б) 68, в) 19, г) 0,

6.47. а) 29, б) -3 .

6.48. р (-19, 0, -10), q (24, 54, 35).

6.49. α = 0, β = - 10, γ = - 20.

6.51. а) 50, б) 8, в) ½.

6.53. а) 2 [ а в ], б) 4[ в а ] + [ а с ] + 2[ с в ], в) 2[ а в ] + [ а с ], г) 0.

6.54. [ а в ] (-10,-8,19), | [ а в ] | = , [ в с ] (-1,2,-3), | [ в с ] | = ,

[ а с ] (-3, -1, 5), | [ а с ] | = .

6.55. а) (1,0,2), б) (10,5,-5), в) (-15,10,18), г) (-21, 13,14).

6.56. а) (-58, -20, 1), б) -80.

6.57. Указание. Найти координаты векторов, стоящих в правой и левой частях, в базисе { i, j, k }.

6.59. Указание. Умножив обе части данного равенства скалярно на вектор с, доказать, что a b с = 0.

6.60. Указание. Т.к.вектор р = [ АВ АС ] (АВС), то доказать, что данный вектор перпендикулярен вектору р.

6.61. Указание. а) выразисть с = - а – b и найти [ b с ] и [ с а ].

б) От любой точки О отложить векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с. Доказать, что векторы [а b ], [ b с ], [ с а ] перпендикулярны одной плоскости γ, содержищей точки О, А, В, С.

6.62. Указание. Если а 0, то ввести такой базис { i, j, k }, у которого