Свойства векторного произведения

Для любых векторов а, b, с и любого числа α

1º) [а b ] = - [b а ],

2º) [ ( α а) b] = [а ( α b) ] = α [а b],

3º) [ (а + с) b] = [а b] +[с b].

Из определения смешанного и векторного произведения следуют такие формулы:

Объем параллелепипеда АВСД А₁В₁С₁Д₁ равен модулю смешанного произведения векторов АВ, АД, АА₁.

V _А….Д1 = | АВ АД АА₁ |

Объем треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равен половине модуля смешанного произведения векторов АВ, АД, АА₁.

V _А….С1 = | АВ АД АА₁ | / 2.

Объем тетраэдра АВСД равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов АВ, АС, АД.

V _А….Д = | АВ АС АД | / 6.

Площадь параллелограмма АВСД равна длине векторного произведения векторов АВ и АД S_АВСД = | [АВ АД ] |

Площадь треугольника АВС равна половине длины векторного произведения векторов АВ и АС S_АВС = | [АВ АС ]| / 2.

Расстояние от точки А до прямой (ВС) вычисляется по формуле

ρ(А, (ВС)) = | [ВА ВС ]|: | ВС |

Расстояние между скрещивающимися прямыми (АВ) и (СД)

вычисляется по формуле

ρ((АВ), (СД))= | АВ АД ДС|: | [АВ ДС ]|

6.45. Смешанное произведение базисных векторов е₁, е₂, е₃

равно 3. Найти смешанное произведение векторов а, b, с, зная их координаты в базисе { е₁, е₂, е₃ }: а) а (2,-3,1), b (1,1,2), с (3,1,-1);

б) а (-2,1,5), b (3,0,2), с (-1,4,2); в) а (1,-1,1), b (5,2,-3), с (1,4,-2);

г) а (0,-3,1), b (2,3,11), с (1,3,5).

6.46. Решить предыдущую задачу, считая, что координаты векторов а, b, с заданыв ортонормированном правом базисе.

6.47. Найти смешанное произведение векторов а, b, с, зная их координаты в ортонормированном левом базисе:

а) а (2,-3,1), b (1,1,2), с (3,1,-1); б) а (,3,4), b (0,3,0), с (0,4,1).

6.48. В ортонормированном правом базисе даны векторы

а (3,1,2), b (2,7,4), с (1,2,1). Найти координаты векторов

р = (а b с) а + b; q = 3 а - (с а b) b + с.

ЗАДАЧА

Найти смешанные произведения (2 а – b+ с)(а + 5 b)(с – а), если b а с = 5.

РЕШЕНИЕ.

Первый способ.

Используя свойства смешанного произведения и тот факт, что смешанное произведение трех комплпнарных векторов равно нулю, преобразуем данной смешанное произведение.

(2 а – b+ с)(а + 5 b)(с – а) = 2 а(а + 5 b)(с – а) + (-b)(а + 5 b)(с – а) +

с (а + 5 b)(с – а) = ( 2 а)а (с – а) + (2 а) ( 5 b)(с – а) +(-b)а(с – а) + (-b)( 5 b)(с – а )+

с а(с – а) + с ( 5 b)(с – а) = 0 + 10 а b с - 10 а b а - b а с + b а а + 0 + с а с –

с а а + 5 с b с – 5 с b а = 10 а b с - b а с – 5 с b а = -- 10 b а с - b а с – 5 b а с =

- 16 b а с = -16 · 5 = - 80.

(Подчеркнуты смешанные произведения компланарных векторов)

 

Второй способ.

Т.к. b а с = 5 0, то векторы b, а, с образуют базисVз. Найдем координаты векторов, входящих в данное смешанное произведение, в базисе { b, а, с}.

х = (2 а – b+ с) = - b + 2 а + с х (-1, 2, 1)

у = (а + 5 b) = 5 b + а + 0 с у (5, 1, 0)

z = (с – а) = 0 b -1 а + 1 с z (0, -1, 1)

Так как смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, равно произведению определителя, составленному из их координат, на смешенное произведение базисных векторов, то

|

ОТВЕТ. – 80.

 

6.49. Найти смешанные произведения α = а (b + с ) (а + b + с),

β = b (с + а)(b + 2 с), γ =(а + b)(а + 2 b + с)(с – а). если а b с = 5.

6.50. Пусть а, b, с – произвольные векторы, а α, β, γ – произвольные числа. Доказать, что векторы α а - β b, γ b – α с, β с - γ а компланарны.

6.51. В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точек: А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(2,3,5), М(6,0,-3), N(1,0,1), А₁(0,0,1). Найти объем а) параллелепипеда АВСД А₁В₁С₁Д₁,

б) треугольной призмы АМNА₁М₁N₁, в) тетраэдра АВСД.

 

ЗАДАЧА

 

Дан куб АВСД А₁В₁С₁Д₁ с единичной стороной. Базис