Для любых векторов а, b, с и любого числа α
1º) [а b ] = - [b а ],
2º) [ ( α а) b] = [а ( α b) ] = α [а b],
3º) [ (а + с) b] = [а b] +[с b].
Из определения смешанного и векторного произведения следуют такие формулы:
Объем параллелепипеда АВСД А1В1С1Д1 равен модулю смешанного произведения векторов АВ, АД, АА1.
V А….Д1 = | АВ АД АА1 |
Объем треугольной призмы АВСА1В1С1 равен половине модуля смешанного произведения векторов АВ, АД, АА1.
V А….С1 = | АВ АД АА1 | / 2.
Объем тетраэдра АВСД равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов АВ, АС, АД.
V А….Д = | АВ АС АД | / 6.
Площадь параллелограмма АВСД равна длине векторного произведения векторов АВ и АД SАВСД = | [АВ АД ] |
Площадь треугольника АВС равна половине длины векторного произведения векторов АВ и АС SАВС = | [АВ АС ]| / 2.
Расстояние от точки А до прямой (ВС) вычисляется по формуле
ρ(А, (ВС)) = | [ВА ВС ]|: | ВС |
Расстояние между скрещивающимися прямыми (АВ) и (СД)
вычисляется по формуле
ρ((АВ), (СД))= | АВ АД ДС|: | [АВ ДС ]|
6.45. Смешанное произведение базисных векторов е1, е2, е3
равно 3. Найти смешанное произведение векторов а, b, с, зная их координаты в базисе { е1, е2, е3 }: а) а (2,-3,1), b (1,1,2), с (3,1,-1);
б) а (-2,1,5), b (3,0,2), с (-1,4,2); в) а (1,-1,1), b (5,2,-3), с (1,4,-2);
г) а (0,-3,1), b (2,3,11), с (1,3,5).
6.46. Решить предыдущую задачу, считая, что координаты векторов а, b, с заданыв ортонормированном правом базисе.
6.47. Найти смешанное произведение векторов а, b, с, зная их координаты в ортонормированном левом базисе:
а) а (2,-3,1), b (1,1,2), с (3,1,-1); б) а (
,3,4), b (0,3,0), с (0,4,1).
6.48. В ортонормированном правом базисе даны векторы
а (3,1,2), b (2,7,4), с (1,2,1). Найти координаты векторов
р = (а b с) а + b; q = 3 а - (с а b) b + с.
ЗАДАЧА
Найти смешанные произведения (2 а – b+ с)(а + 5 b)(с – а), если b а с = 5.
РЕШЕНИЕ.
Первый способ.
Используя свойства смешанного произведения и тот факт, что смешанное произведение трех комплпнарных векторов равно нулю, преобразуем данной смешанное произведение.
(2 а – b+ с)(а + 5 b)(с – а) = 2 а(а + 5 b)(с – а) + (-b)(а + 5 b)(с – а) +
с (а + 5 b)(с – а) = ( 2 а)а (с – а) + (2 а) ( 5 b)(с – а) +(-b)а(с – а) + (-b)( 5 b)(с – а )+
с а(с – а) + с ( 5 b)(с – а) = 0 + 10 а b с - 10 а b а - b а с + b а а + 0 + с а с –
с а а + 5 с b с – 5 с b а = 10 а b с - b а с – 5 с b а = -- 10 b а с - b а с – 5 b а с =
- 16 b а с = -16 · 5 = - 80.
(Подчеркнуты смешанные произведения компланарных векторов)
Второй способ.
Т.к. b а с = 5 
0, то векторы b, а, с образуют базисVз. Найдем координаты векторов, входящих в данное смешанное произведение, в базисе { b, а, с}.
х = (2 а – b+ с) = - b + 2 а + с 
х (-1, 2, 1)
у = (а + 5 b) = 5 b + а + 0 с у (5, 1, 0)
z = (с – а) = 0 b -1 а + 1 с z (0, -1, 1)
Так как смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, равно произведению определителя, составленному из их координат, на смешенное произведение базисных векторов, то
|
ОТВЕТ. – 80.
6.49. Найти смешанные произведения α = а (b + с ) (а + b + с),
β = b (с + а)(b + 2 с), γ =(а + b)(а + 2 b + с)(с – а). если а b с = 5.
6.50. Пусть а, b, с – произвольные векторы, а α, β, γ – произвольные числа. Доказать, что векторы α а - β b, γ b – α с, β с - γ а компланарны.
6.51. В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точек: А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(2,3,5), М(6,0,-3), N(1,0,1), А1(0,0,1). Найти объем а) параллелепипеда АВСД А1В1С1Д1,
б) треугольной призмы АМNА1М1N1, в) тетраэдра АВСД.
ЗАДАЧА
Дан куб АВСД А1В1С1Д1 с единичной стороной. Базис
