Розкладання можна записати більш точно
При цьому 
- добуток ненульових поліномів нульового степеня.
Етап 2.
Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових 
в першому степені.
1. Ділимо поліном на перший НСД.
на 
.
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
| -6 | -4 | -3 | -5 | -2 | |||||||
| -3 | -5 | -2 | -1 | -2 | |||||||
| -1 | -3 |
|
|
| |||||||
| -1 | -1 | ||||||||||
| -2 | -2 | ||||||||||
| -2 | -2 | ||||||||||
2. Ділимо на 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -3 | -5 | -2 | |||||
| -1 | -2 | ||||||
| -1 | -4 | -5 | -2 |
|
|
| |
| -1 | -2 | -1 | |||||
| -2 | -4 | -2 | |||||
| -2 | -4 | -2 | |||||
3. 
4. 
Незвідний поліном 
входить до розкладання поліному у 4-му степені.
Етап 3.
Діленням 
знаходимо складові 
в розкладанні полінома 
на кратні множники.
1. 
; 2. 
3. 
Розкладання на кратні множники відбулося.
Поліном розклали і на кратні, і на незвідні множники, оскільки біноми, на які відбулося розкладання, є незвідними поліномами.
Коренями даного поліному будуть числа 
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 3.
Розкласти на незвідні множники поліном 
на множині 
, попередньо відокремивши кратні множники. Записати усі корені поліному. Коефіцієнти 
, 
, 
, 
, 
наведені у таблиці
| Варіант |
|
|
|
|
|
| -5 | -6 | ||||
| -5 | -2 | ||||
| -9 | -5 | ||||
| -3 | -6 | ||||
| -4 | -4 | -8 | |||
| -2 | -14 | -15 | -5 | ||
| -10 | -8 | -18 | |||
| -10 | -15 | -6 | |||
| -1 | -14 | -32 | |||
| -3 | -9 | -36 | |||
| -4 | -24 | -16 | |||
| -2 | -6 | ||||
| -3 | -1 | -4 | |||
| -5 | -35 | ||||
| -6 | -27 | -54 | |||
| -10 | -80 | -64 | |||
| -2 | -9 | -40 | |||
| -9 | -51 | -12 | |||
| -6 | -12 | -8 | |||
| -9 | -46 | -9 | |||
| -3 | -9 | ||||
| -8 | -38 | -8 | |||
| -10 | -68 | -18 | |||
| -11 | -92 | -32 | |||
| -1 | -11 | -36 | |||
| -1 | -10 | ||||
| -8 | -34 | -6 | |||
| -3 | -6 | ||||
| -10 | -64 | -16 | |||
| -3 | -8 |
Побудова полінома найменшого степеня за відомими коренями.
Оберненою для сімейства задач про існування та визначення коренів поліномів є задача побудови поліному за відомими коренями.
Доведено, що поліноми 
-го степеня, визначені на множені комплексних чисел 
мають точно коренів. Причому кількість дійсних коренів буде або співпадати із загальною кількістю коренів або буде меншим за на парне число.
Виходячи з такого факту можна зробити висновок, що дійсних коренів належать до поліному мінімального степеня .
Спосіб побудови коефіцієнтів такого полінома дає теорема Вієта.
Для коренів 
алгебраїчного рівняння -го степеня
Справедливі співвідношення:
…………………………….
Наведені формули називаються формулами Вієта.
Якщо поліном заданий на множині , то крім дійсних коренів поліном може мати парну кількість комплексних коренів і тому загальний степінь полінома буде більшим за .
Отже, якщо задати дійсних коренів поліному, можна за формулами Вієта побудувати зведений (
) поліном -го степеня
Умноживши зведений поліном на довільну сталу 
отримаємо сукупність асоційованих поліномів найменшого степеня, тобто поліномів, які можна отримати один з одного множенням на сталу (поліном нульового степеня).
Приклад
Відомо, що числа 1, 2, -1, 4, 3 є коренями полінома. Побудувати поліном найменшого степеня, який має такі корені. Побудувати усі асоційовані до нього поліноми.
Розв’язання.
Розглянемо формули Вієта для п’яти коренів. Маємо 
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 2: 
. Вимога виконана.
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 3: 
. Вимога виконана.
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 4: 
. Вимога виконана.
У виведені формули підставимо корені. Отримаємо коефіцієнти зведеного поліному:
Запишемо зведений поліном:
Перевіримо, чи правильно знайдені коефіцієнти:
корінь полінома;
корінь полінома;
Корені -1, 4,3 пропонується студентам перевірити самостійно.
Зведений поліном найменшого степеня побудований правильно. Усі асоційовані поліноми можна записати так:
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4.
Використовуючи формули Вієта побудувати зведений поліном найменшого степеня у множині за заданими коренями. Перед розв’язанням записати загальні формули для такого поліному. Побудувати усі поліноми, асоційовані із отриманим зведеним.
| Номер варіанту | 
| 
| 
| 
| 
|
| -
| ||||
| -
| -3 | |||
|
| -
| ||||
| -
| -2 | |||
| -1 | -1 | ||||
| -2 | -1 | ||||
|
| -
| ||||
| -1 | -1 | ||||
| -1 | -1 | -1 | |||
|
| -
| -2 | -2 | -2 | |
| -2 | -2 | ||||
| -1 | -4 | ||||
|
| -
| -1 | -2 | -1 | |
| -3 | -3 | ||||
|
| -
| -1 | -1 | -1 | |
| -1 | -1 | ||||
| -1 | -1 | -1 | |||
| -1 | -1 | -3 | |||
|
| -
| -1 | -1 | ||
| -1 | -1 | -1 |
* Докладніше дивись отримання кореня n-го степеня з довільного комплексного числа за допомогою значень кореня кубічного з 1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры/ М: Наука, 1968, гл.4, §19, стор. 128
