Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить.

Розкладання можна записати більш точно

При цьому - добуток ненульових поліномів нульового степеня.

Етап 2.

Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових в першому степені.

1. Ділимо поліном на перший НСД.

на .

		-6	-4						-3	-5	-2
		-3	-5	-2				-1	-2
	-1	-3
	-1	-1
		-2	-2
		-2	-2

2. Ділимо на .

		-3	-5	-2
						-1	-2
	-1	-4	-5	-2
	-1	-2	-1
		-2	-4	-2
		-2	-4	-2

3.

4.

Незвідний поліном входить до розкладання поліному у 4-му степені.

Етап 3.

Діленням знаходимо складові в розкладанні полінома на кратні множники.

1. ; 2.

3.

Розкладання на кратні множники відбулося.

Поліном розклали і на кратні, і на незвідні множники, оскільки біноми, на які відбулося розкладання, є незвідними поліномами.

Коренями даного поліному будуть числа

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 3.

Розкласти на незвідні множники поліном на множині , попередньо відокремивши кратні множники. Записати усі корені поліному. Коефіцієнти , , , , наведені у таблиці

Варіант
	-5	-6
		-5	-2
		-9	-5
	-3	-6
	-4			-4	-8
		-2	-14	-15	-5
		-10	-8		-18
			-10	-15	-6
	-1	-14			-32
	-3	-9			-36
			-4	-24	-16
	-2	-6
	-3	-1			-4
	-5			-35
	-6			-27	-54
	-10			-80	-64
	-2	-9			-40
	-9		-51		-12
	-6			-12	-8
	-9		-46		-9
	-3			-9
	-8		-38		-8
	-10		-68		-18
	-11		-92		-32
	-1	-11			-36
	-1	-10
	-8		-34		-6
	-3			-6
	-10		-64		-16
	-3	-8

Побудова полінома найменшого степеня за відомими коренями.

Оберненою для сімейства задач про існування та визначення коренів поліномів є задача побудови поліному за відомими коренями.

Доведено, що поліноми -го степеня, визначені на множені комплексних чисел мають точно коренів. Причому кількість дійсних коренів буде або співпадати із загальною кількістю коренів або буде меншим за на парне число.

Виходячи з такого факту можна зробити висновок, що дійсних коренів належать до поліному мінімального степеня .

Спосіб побудови коефіцієнтів такого полінома дає теорема Вієта.

Для коренів алгебраїчного рівняння -го степеня

Справедливі співвідношення:

…………………………….

Наведені формули називаються формулами Вієта.

Якщо поліном заданий на множині , то крім дійсних коренів поліном може мати парну кількість комплексних коренів і тому загальний степінь полінома буде більшим за .

Отже, якщо задати дійсних коренів поліному, можна за формулами Вієта побудувати зведений () поліном -го степеня

Умноживши зведений поліном на довільну сталу отримаємо сукупність асоційованих поліномів найменшого степеня, тобто поліномів, які можна отримати один з одного множенням на сталу (поліном нульового степеня).

Приклад

Відомо, що числа 1, 2, -1, 4, 3 є коренями полінома. Побудувати поліном найменшого степеня, який має такі корені. Побудувати усі асоційовані до нього поліноми.

Розв’язання.

Розглянемо формули Вієта для п’яти коренів. Маємо

Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 2: . Вимога виконана.

Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 3: . Вимога виконана.

Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 4: . Вимога виконана.

У виведені формули підставимо корені. Отримаємо коефіцієнти зведеного поліному:

Запишемо зведений поліном:

Перевіримо, чи правильно знайдені коефіцієнти:

корінь полінома;

корінь полінома;

Корені -1, 4,3 пропонується студентам перевірити самостійно.

Зведений поліном найменшого степеня побудований правильно. Усі асоційовані поліноми можна записати так:

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4.

Використовуючи формули Вієта побудувати зведений поліном найменшого степеня у множині за заданими коренями. Перед розв’язанням записати загальні формули для такого поліному. Побудувати усі поліноми, асоційовані із отриманим зведеним.

Номер варіанту
		-
		-			-3
		-
		-			-2
				-1	-1
				-2	-1
		-
			-1	-1
	-1	-1	-1
		-	-2	-2	-2
			-2	-2
				-1	-4
		-	-1	-2	-1
			-3	-3
		-	-1	-1	-1
				-1	-1
	-1	-1	-1
	-1	-1			-3
		-	-1	-1
			-1	-1	-1

 

* Докладніше дивись отримання кореня n-го степеня з довільного комплексного числа за допомогою значень кореня кубічного з 1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры/ М: Наука, 1968, гл.4, §19, стор. 128