1. Розкладання полінома за степенями бінома 
Задача
Розкласти поліном 
за степенями біному , тобто подати поліном у вигляді
Розв’язання.
Звернемо увагу, що в комірках другого стовпчика з першої до передостанньої стоять коефіцієнти неповної частки 
. Це поліном із степенем на 1 меншим, ніж у вихідного полінома. Його теж можна розділити на , використовуючи схему Горнера. Процес ділення на можна подати так:
, (5)
- неповна частка, 
- остача від ділення на . Коефіцієнти для 
беруть із відповідної схеми Горнера.
Підставимо (5) у (3):
.
Процес розкладання проводиться до полінома 
. Розкладання кожного разу підставляється до 
. На кінцевому етапі будемо мати розкладання
(6),
Тобто коефіцієнти розкладання будуть такі: 
Приклад 2
Розкласти за степенями бінома 
поліном 
.
Розв’язання.
Складемо схему Горнера ділення на біном :
| -2 | -5 | ||||
| 2i | -2+2i | -3-4i | 3-6i | 19+6i |
Отже, 
.
Застосуємо схему Горнера для 
.
| -2+2i | -3-4i | 3-6i | ||
| 2i | -2+4i | -11-8i | 19-28i |
Отже, 
.
Підставимо розкладання 
до 
:
Застосуємо схему Горнера для 
:
| -2+4i | -11-8i | ||
| 2i | -2+6i | -23-12i |
Підставимо розкладання 
до :
Застосуємо схему Горнера для 
:
| -2+6i | ||
| 2i | -2+8i |
Підставимо розкладання 
до :
Отримали розкладання поліном 
за степенями бінома :
Коефіцієнти розкладання:
Процес розкладання можна позбавити громіздких викладок, якщо помітити, що коефіцієнтами розкладання є залишки у кожному розкладанні поліномів за схемою Горнеоа.
Для наочності процесу доцільно усі схеми об’єднати в одну.
Об’єднана схема Горнера.
| -2 | -5 | ||||
| 2i | -2+2i | -3-4i | 3-6i | 19+6i | |
| 2i | -2+4i | -11-8i | 19-28i | ||
| 2i | -2+6i | -23-12i | |||
| 2i | -2+8i | ||||
| 2i |
З останньої схеми видно, що коефіцієнти розкладання полінома за степенями розташовані в останніх комірках кожного рядка, і є коефіцієнтами біля степенів розташованих в порядку зростання з гори до низу.
Обчислення похідних полінома в даній точці.
Задача.
Обчислити значення похідних полінома до n-ї включно в точці 
.
Розв’язання.
З попередньої задачі маємо розкладання полінома за степенями бінома (6):
.
Для отримання значень похідних полінома до n-ї включно в точці запишемо розкладання функції в ряд Тейлора в околі точки і порівняємо два розкладання.
Ряд Тейлора для будь якої безкінечно диференційованої функції 
в околі точки має такий вигляд:
- значення функції та її похідних у точці
В нашому випадку є функція, диференційована n раз, отже для неї ряд Тейлора прийме вигляд:
, (7)
Де 
- значення полінома та його похідних у точці
Порівняємо (6) і (7).
З порівняння можна записати таке:
Приклад 3
Обчислити значення похідних полінома з попереднього прикладу до 4-ї включно в точці 
.
Розв’язання.
Розглянемо об’єднану схему Горнера з попереднього прикладу. В останній комірці кожного рядка маємо значення 
.
