Розкладання полінома на кратні та незвідні множники.

В алгебрі поліномів над довільними полями однією з важливих задач є задача розкладання полінома на незвідні множники. Розв’язання цієї задачі базується на таких твердженнях:

– будь який поліном першого степеня є незвідним;

– якщо поліном є незвідним, то незвідним буде будь який поліном ;

– якщо - довільний поліном, а - незвідний, то або ділиться на , тобто , або поліноми та є взаємно простими, тобто ;

– якщо добуток двох поліномів та ділиться на незвідний поліном , то обов’язково або або ділится на .

Наслідком цих тверджень є таке:

Якщо поліном з дійсними коефіцієнтами двома способами розкладено на незвідні множники то

– ;

– після відповідного впорядкування вірними будуть такі рівності:

Останнє твердження забезпечує єдиність розкладання полінома на незвідні множники. З урахуванням того, що деякі незвідні множники можуть входити до розкладання полінома не однократно, таке єдине подання буде мати вигляд

.

У зв’язку з тим, що в розкладанні врахована кратність входження незвідних поліномів, розв’язання задачі розкладання на незвідні множники почнемо з задачі розкладання на кратні множники.

Розглянемо алгоритм розкладання полінома на кратні множники.

Будемо вважати, що в розкладання поліноми входять з кратностями від 1 до n включно. Позначимо

– через добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 1. Поліноми, що входять до можуть мати степені від 1 до n;

– через добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 2.

…………………………………

– через добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю .

Тоді початкове розкладання полінома на кратні множники буде виглядати так:

На першому етапі знайдемо максимальну кратність поліномів, що входять до розкладання . Позначимо її .

Етап І.

1. а) Знаходимо похідну від за змінною :

,

де - поліном, який залишився в дужках після виносу спільного множника.

б) Знаходимо НСД між і :

Степінь менша за степінь .

2. а) Знаходимо похідну від за змінною :

б) Знаходимо НСД між і :

Степінь менша за степінь .

…………………………………….

S.. а) Знаходимо похідну від за змінною :

б) Знаходимо НСД між і :

Процес знаходження спільних дільників закінчено.

Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить.

Розкладання можна записати більш точно

При цьому - добуток ненульових поліномів нульового степеня.

Етап 2.

Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових в першому степені.

1.

2.

…………………………….

S-1.

S.

На останньому кроці другого етапу знайшли поліном, який є добутком поліномів, які входять в розкладання з кратністю - .

Етап 3.

Діленням знаходимо складові в розкладанні полінома на кратні множники.

1.

2.

…………………………….

S-1.

Розкладання на кратні множники відбулося. Залишилось перевірити, чи є поліноми незвідними для .

Приклад.

Відокремити кратні множники поліному.

Розв’язання.

Етап І.

1. а) Знаходимо похідну від за змінною :

~

б) Знаходимо НСД між і :

_1		-6	-4						-4	-2
		-4	-2
	:(-2)	-2	-2
				-3	-5	-2

Перша остача

_1		-4	-2					-3	-5	-2
		-3	-5	-2			-1
	_-1	-1
	-1	-1

2. а) Знаходимо похідну від :

б) Знаходимо НСД між і :

			-3	-5	-2			-6	-5
´4	_4		-12	-20	-8
			-6	-5
			-6	-15	-8
	´4	_4	-24	-60	-32
				-6	-5
			-27	-54	-27
		:(-27)

Перша остача

_4		-6	-5
					-5
	_-5	-10	-5
	-5	-10	-5

3. а) Знаходимо похідну від :

~

б) Знаходимо НСД між і :

4. а) Знаходимо похідну від за змінною :

б) Знаходимо НСД між і :

Процес знаходження спільних дільників закінчено.