В алгебрі поліномів над довільними полями однією з важливих задач є задача розкладання полінома на незвідні множники. Розв’язання цієї задачі базується на таких твердженнях:
– будь який поліном першого степеня є незвідним;
– якщо поліном 
є незвідним, то незвідним буде будь який поліном 
;
– якщо 
- довільний поліном, а - незвідний, то або ділиться на , тобто 
, або поліноми та є взаємно простими, тобто 
;
– якщо добуток двох поліномів та 
ділиться на незвідний поліном , то обов’язково або або ділится на .
Наслідком цих тверджень є таке:
Якщо поліном з дійсними коефіцієнтами двома способами розкладено на незвідні множники 
то
– 
;
– після відповідного впорядкування вірними будуть такі рівності:
Останнє твердження забезпечує єдиність розкладання полінома на незвідні множники. З урахуванням того, що деякі незвідні множники можуть входити до розкладання полінома не однократно, таке єдине подання буде мати вигляд
.
У зв’язку з тим, що в розкладанні врахована кратність входження незвідних поліномів, розв’язання задачі розкладання на незвідні множники почнемо з задачі розкладання на кратні множники.
Розглянемо алгоритм розкладання полінома на кратні множники.
Будемо вважати, що в розкладання поліноми входять з кратностями від 1 до n включно. Позначимо
– через 
добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 1. Поліноми, що входять до можуть мати степені від 1 до n;
– через 
добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 2.
…………………………………
– через 
добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 
.
Тоді початкове розкладання полінома на кратні множники буде виглядати так:
На першому етапі знайдемо максимальну кратність поліномів, що входять до розкладання . Позначимо її 
.
Етап І.
1. а) Знаходимо похідну від за змінною 
:
,
де 
- поліном, який залишився в дужках після виносу спільного множника.
б) Знаходимо НСД між і 
:
Степінь 
менша за степінь .
2. а) Знаходимо похідну від 
за змінною :
б) Знаходимо НСД між і 
:
Степінь 
менша за степінь .
…………………………………….
S.. а) Знаходимо похідну від 
за змінною :
б) Знаходимо НСД між 
і 
:
Процес знаходження спільних дільників закінчено.
Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить.
Розкладання можна записати більш точно
При цьому 
- добуток ненульових поліномів нульового степеня.
Етап 2.
Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових 
в першому степені.
1. 
2. 
…………………………….
S-1. 
S. 
На останньому кроці другого етапу знайшли поліном, який є добутком поліномів, які входять в розкладання з кратністю 
- 
.
Етап 3.
Діленням 
знаходимо складові 
в розкладанні полінома на кратні множники.
1. 
2. 
…………………………….
S-1. 
Розкладання на кратні множники відбулося. Залишилось перевірити, чи є поліноми 
незвідними для 
.
Приклад.
Відокремити кратні множники поліному.
Розв’язання.
Етап І.
1. а) Знаходимо похідну від 
за змінною :
~ 
б) Знаходимо НСД між і :
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
| _1 | -6 | -4 | -4 | -2 | ||||||||
| -4 | -2 | |||||||||||
| :(-2) | -2 | -2 | ||||||||||
| -3 | -5 | -2 |
Перша остача 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| _1 | -4 | -2 | -3 | -5 | -2 | |||||
| -3 | -5 | -2 | -1 | |||||||
| _-1 | -1 | |||||||||
| -1 | -1 | |||||||||
2. а) Знаходимо похідну від 
:
б) Знаходимо НСД між і :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| -3 | -5 | -2 | -6 | -5 | |||||
| ´4 | _4 | -12 | -20 | -8 | |||||
| -6 | -5 | ||||||||
| -6 | -15 | -8 | |||||||
| ´4 | _4 | -24 | -60 | -32 | |||||
| -6 | -5 | ||||||||
| -27 | -54 | -27 | |||||||
| :(-27) |
Перша остача 
|
|
|
|
|
|
|
|
| _4 | -6 | -5 | ||||
| -5 | ||||||
| _-5 | -10 | -5 | ||||
| -5 | -10 | -5 | ||||
3. а) Знаходимо похідну від 
:
~ 
б) Знаходимо НСД між і 
:
4. а) Знаходимо похідну від 
за змінною :
б) Знаходимо НСД між 
і 
:
Процес знаходження спільних дільників закінчено.
