Определение коэффициента трения скольжения

Цель: определить коэффициент трения скольжения груза на плоскости.

Оборудование

1. Модульный учебный комплекс МУК-М2;

2. Блок секундомер электронный СЭ1 1 шт.

3. Блок механический БМ2 1 шт.

Краткое теоретическое введение

 

При соскальзывании бруска с наклонной плоскости на него действует несколько сил: сила

тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N и сила трения скольжения.

 

 

Рис.1

 

Выберем направление координатной оси X вдоль плоскости вниз, а координатной оси Y перпендикулярно плоскости вверх. Запишем уравнение динамики поступательного движения бруска в проекциях на эти оси:

OX: (1)

OY: (2)

a – ускорение, с которым скатывается брусок. Учтем, что сила трения скольжения равна

 

(3)

где μ- коэффициент трения скольжения.

Решая систему уравнений (1), (2) и (3), получаем

 

(4)

 

Величину ускорения a можно найти, измерив пройденный бруском путь S и соответствующее время t:

 

(5)

Формула получена при нулевом значении начальной скорости, что соответствует условиям опыта. Подставляя (5) в (4), получаем формулу для определения коэффициента трения скольжения:

 

(6)

Методика эксперимента

 

Установка представляет собой наклонную плоскость 1, которую с помощью винта 2 можно устанавливать под разными углами α к горизонту (рис.2). Угол α измеряется с помощью шкалы 3. На плоскость может быть помещен брусок 4 массой m. Предусмотрено использование двух брусков разной массы. Каждый брусок состоит из двух частей, изготовленных из различных материалов: дерево-дюраль и дерево-сталь. Бруски закрепляются в верхней точке наклонной плоскости с помощью электромагнита 5, управление которым осуществляется с помощью электронного секундомера СЭ1. Пройденное бруском расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время соскальзывания бруска измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания бруском финишной точки.

 

 

Рис.2

Рекомендуемое задание к работе

 

1. Ослабив винт 2 (рис.2), установите плоскость под углом 25° к горизонту, электромагнит при этом должен находиться в нижней части плоскости. Закрепите плоскость в таком положении, зажав винт 2.

2. Включите секундомер СЭ-1. Убедитесь, что он находится в режиме №1.

3. Поместить брусок с большей массой (сталь-дерево) на наклонную плоскость в

положении деревом вниз, прижмите торец бруска, на который наклеена металлическая пластина, к электромагниту. Убедиться, что брусок удерживается в этом положении.

4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Выключение секундомера происходит автоматически в момент удара бруска по финишному датчику.

5. Запишите время соскальзывания бруска t, пройденный бруском путь S, угол наклона

плоскости α. Вычислите по формуле (6) коэффициент трения скольжения μ.

6. Повторите опыт пятикратно. Проведите математическую обработку результатов.

7. Повторите п.п. 3-6, повернув брусок в положение сталью вниз.

8. Повторите п.п.3-7 для других углов α.

9. Повторите п.п. 3-8 для второго бруска.

10. Проделайте измерения изложенные выше измерени для изменённой при помощи дополнительных грузиков массы бруска

11. Сравнить полученные в опыте значения коэффициентов трения скольжения с

табличными значениями этой величины.

Контрольные вопросы.

1. Какое надо сделать предположение, чтобы можно было использовать формулу (5)?

2. Используя найденный коэффициент трения скольжения и предполагая, что коэффициент трения покоя не больше коэффициента трения скольжения, определите при каком критическом угле наклона плоскости начнется соскальзывание.

3. Экспериментально проверьте найденное значение критического угла. Если обнаружится расхождение с теоретическим значением, объясните это расхождение.

4. Изменит ли значение коэффициента трения скольжения увеличение массы соскальзывающего груза, площадь трущейся поверхности, температура поверхности?

 

Лабораторная работа №14

ТРЕНИЕ НИТИ

Цель работы. Нахождение зависимости, удерживающей от проскальзывания силы от угла намотки нити.

Оборудование: Специализированный стенд в лаборатории.

Краткое теоретическое введение:

Угол намотки - это угол между нормалями к нити в концах дуги соприкосновения с опорой. Для цилиндрической опоры это угловая мера дуги, угол между радиусами (рис.1).

Рис.1.

С полным выводом формулы Эйлера можно ознакомиться в приложении. Пока же нужно разобраться в том, что с ростом угла намотки удерживающая сила уменьшается в геометрической прогрессии.

Рассмотрим одноградусный участок. Из-за трения нужно уравновесить не всё начальное натяжение, а лишь часть его. Пусть в конце этого участка ослабление натяжения незначительно и конечное натяжение составляет долю начального лишь не намного меньшую единицу. Но на следующем участке нужно уравновесить лишь долю доли..., ещё на одном таком же - лишь долю доли.... За полный оборот происходит 360 таких ослаблений.

Осталось понять, что при исчезновении проскальзывания на одинаковых участках происходит ослабление в одно и то же число раз, что удерживающая сила составляет одну и ту же долю тянущей. Это так, поскольку сила трения пропорциональна прижимающей силе, а она, в свою очередь, пропорциональна натяжению. Поэтому и изменение натяжения пропорционально самому натяжению.

 

Если при угле намотки α и тянущей силе F удерживающая от проскальзывания сила ƒ меньше её в q раз (ƒ= ),то при угле намотки 2 α на первой половине дуги натяжение уменьшится в q раз и в q раз на второй половине, итоговое уменьшение произойдет в q² раз. При угле 3α - в q³ раз...

 

Содержание работы

 

В установке нить навивается на цилиндр, закрепленный в штативе. Тянущую силу F задает груз, нить от которого наматывается на цилиндр и идет к динамометру, измеряющему удерживающую силу f. Для правильного измерения угла намотки, нужно добиться вертикальности нити от груза до цилиндра.

Угол намотки можно измерить с помощью школьного угольника, натягивая нить вдоль одной из его сторон Фиксируя угол намотки α, 2 α, 3 α, 4 α и 5 α, нужно установить к какому дополнительному ослаблению удерживающей силы приводит добавка одного и того же угла α на каждом этапе и определить отклонения от ожидаемого постоянного значения.

Выбор угла α проводится из следующих соображений: ослабление натяжения на этом угле происходит примерно в 1.2 1.4 раза, что обеспечивает приемлемую точность измерений динамометра; при углах от α до 5 α груз имеет свободный ход вверх и вниз. Ориентировочно α можно взять в районе 180^о.

Значение α, округлённое до кратного 5^о, вносится в таблицу. Показания динамометра, округленные до кратного 10 г, вносятся в следующую строку под соответствующим углом намотки. Под нулевым значением угла намотки вносится вес груза, измеренный непосредственно на динамометре. Показания динамометра снимаются так: груз поднимают рукой, пока указатель не станет близок к нулевому положению. Затем груз плавно освобождают и дожидаются полной остановки указателя. Для проверки чуть приподнимите груз и снова дождитесь исчезновения возникшего проскальзывания в течение 20 - 30 секунд. Заготовьте таблицу по приведенному образцу, но прежде, чем вносить в неё данные, попрактикуйтесь в установке угла намотки, измерении сил и фиксации остановки. Нить не должна цепляться сама за себя, при всех углах намотки должна идти по одному и тому же среднему участку цилиндра. В разных местах может быть разным коэффициент трения. Ещё раз, динамометр неподвижно удерживается внизу в вертикальном положении. После плавного освобождения груза указатель его поднимается от меньших значений к большим до прекращения проскальзывания, что отвечает граничному случаю исчезновения проскальзывания.

В третьей строке таблицы помещается вычисленное до трех знаков отношение удерживающих сил из двух соседних клеток сверху:

Среднее значение

округленное до двух знаков вносите в таблицу. Найдите абсолютную величину отклонения от среднего:

и среднее абсолютное отклонение

и наконец, относительное отклонение в процентах

округленное до одной значащей цифры. Последнее дает нам представление о точности, с которой выполняется ожидаемая закономерность убывания в геометрической прогрессии удерживающей силы с ростом угла намотки.

Отчет включает в себя номер и название работы, дату выполнения, фамилии выполнявших, необходимые вам записи и формулы, заполненную таблицу. Для зачета по работе нужно разобраться в методе измерения всех величин и быть готовым к ответу на предлагаемые вопросы. Желательно ознакомиться с приложением.

Контрольные вопросы

1. Почему свитер не распускается? Оцените сколько оборотов нити на цилиндре достаточно, чтобы гиря в 1г удержала гирю в 1кг?

2. Скажется ли на зависимость удерживающей силы от угла намотки замена кругового контура соприкосновения нити с опорой на произвольный выпуклый?

3. Как увеличение коэффициента трения вдвое повлияет на отношение сил при том же угле намотки? Как нужно изменить угол намотки, чтобы отношение сил не изменилось?

4. На дуге рад натяжение убывает на 0.1%. Найдите приближенно коэффициент трения нити об опору.

 

 

Угол намотки	α =0о	α =90о	α =180о	α =270о	α =360о	α =450о
Показания динамометра, r	f0.	f1.	f1	f3.	f4.	f5.
Отношение q1=ƒi-1/ƒ	q1 1.31	q2 1.38	q3 1.31	q4 1.23	q5 1.62
Отклонение	∆q1 0.09	∆q2 0.02	∆q3 0.09	∆q4 0.17	∆q5 0.22
qср=1.4	∆qср= 0.11	δq = 7%

 

Приложение: Выводы формулы Эйлера.

 

 

Пусть малый участок нити соприкасается с опорой по углу ∆α. Натяжения Т и Т+∆Т направлены по касательным к конечным точкам (см. рис).

При малом угле силу трения ∆F_тр можно считать направленной по касательной к средней точке дуги, а силу нормали к этой точке, по осям X и Y соответственно.

Проекция ∆N на Х нулевая, а проекции натяжения на эту ось для малого угла ∆α в пределе совпадает с самими силами. Поэтому

∆T=∆F_тр (1)

Изменение натяжение обусловлено трением. Прижимающая же сила связана с изгибом натянутой нити. Проекции натяжения на Y

уравновешиваются силой нормального давления. Заменим синус малого

угла самим углом и отбросим произведение малых ∆T∙∆α. Тогда

∆N=T∙∆α (2)

Натяжение дает нормальное давление, отнесенное к единице угла!

Если μ коэффициент трения, то в граничном случае исчезновения проскальзывания

∆F_тр=μ∙∆N (3)

Из этих трех соотношений имеем в пределе малого угла

∆T=T∙μ∙∆α (4)

Относительное изменение натяжения задаётся углом ∆α. Если 1/n=μ∙∆α, то прирост натяжения происходит для любого участка ∆α на одну " n "-ая часть.

Для угла α=k∙∆α, состоящего из k таких участков, , поскольку . Пусть в начале первого участка натяжение T₀. В конце его оно больше на одну " n "-ую

На втором участке ∆α начальное уже T₁, а конечное

Поэтому через k участков натяжение будет

Подставляя сюда предварительно найденное k, имеем

Стремление ∆α к нулю означает стремление n к бесконечности,

в таком пределе мы получим точный результат. Предел выражения в

квадратных скобках часто встречается и называется числом e, это иррациональное число

Приближенно . Воспользовавшись e, имеем:

(5)

 

Если ∆α - полный угол намотки, то T₀ совпадает с удерживающей силой f, а Т(α) - с тянущей силой F.

 

Лабораторная работа №15

УПРУГОЕ РАСТЯЖЕНИЕ

Цель работы: Экспериментальное определение модуля Юнга.

Приборы и оборудование: Лабораторный стенд, набор гирь.

Краткое теоретическое введение

 

Гук (1676 г.) указал на пропорциональность деформаций и упругих сил. Коэффициент, связывающий силу с деформацией, называют жёсткостью. Юнг (1807 г.) ввёл характеристику упругих свойств вещества, называемую ныне модулем Юнга. Модуль Юнга - это жёсткость единичного кубика вещества.

Основная цель работы. Установление зависимости растяжения стальной проволоки от нагрузки и нахождение модуля Юнга.

Описание метода

Нагрузка прикладывается к нижнему концу подвешенной проволоки, о перемещении которого судим по индикатору перемещения (рис.1).

При равновесии в любом поперечном сечении проволоки силы, Действующие со стороны одной части проволоки на другую, одинаковы и равны силе F, приложенной к верхнему концу проволоки. Выделим произвольный отрезок. При равновесии сумма приложенных к нему сил равна нулю.

Поэтому, если с одного конца приложена сила F, то уравновешивающая её сила, приложенная к другому концу, равна ей по модулю и противоположно направлена (рис.1).

Мысленно разделим проволоку на L слоёв единичной толщины, а каждый слой на S единичных кубиков, здесь L и S соответственно длина и сечение проволоки (рис.2). При растяжении достаточно широкой проволоки

можно считать, что все кубики слоя растянуты одинаково на некоторое , и на каждый кубик действует одна и та же сила со стороны примыкающих к нему кубиков из верхнего и нижнего

слоёв (рис.2).

По правилу Гука в применении к единичному кубику с жёсткостью E имеем:

σ =E∙ε (1)

Осталось выразить σ и ε через непосредственно измеряемые значения силы F и удлинение проволоки ∆L.

Ко всему сечению, сложенному из S граней кубиков, приложена сила F, и тогда на грань одного кубика приходится сила

(2)

Эта сила, отнесённая к единице площади, её называют напряжением; она измеряется в Н/м² или в Па (Паскаль).

Общее удлинение ∆L складывается из удлинения каждого из L cлоёв на ε. Поэтому удлинение каждого кубика в L раз меньше удлинения всей проволоки: раз меньше удлинения всей проволоки:

(3)

Таким образом, ε - это относительное удлинение, т.е. удлинение, отнесённое к единице длины; относительное удлинение просто называют деформацией. Для неё не нужно специальных единиц, она является отвлечённым числом, показывающим, на какую долю возросла длина.

Изучение зависимости ε от σ на нашей установке не подтверждает пропорциональности ε от σ, описываемой соотношением (1). Вместо прямой, проходящей через начало координат, график этой зависимости, проведённый по экспериментальным точкам, содержит сначала круто идущий участок, переходящий в идущий более полого (рис.3).

Причина такого поведения, однако, не в нарушении закона Гука (1), а в ином, чем предполагалось, характере деформации. Присмотритесь к проволоке при снятых грузах. Легко сжав её подушечками пальцев, проведите их вдоль неё.

 

Проволока имеет небольшие изгибы. Поэтому перемещение верхнего конца проволоки происходит не столько из-за увеличения длины, сколько из-за выпрямления изгибов. Только после выпрямления проволоки перемещение верхнего конца станет совпадать с увеличением длины проволоки. От этого состояния нужно отсчитывать деформации и нагрузки для определения модуля Юнга. Нужно воспользоваться конечным, выходящим на прямую участком графика (см. рис.3) или определить модуль Юнга по двум последним экспериментальным точкам как

(4)

Измерение и обработка

Длина проволоки L измеряется линейкой. Диаметр проволоки d измерьте штангенциркулем. Масса каждого груза указана на нем. Сила тяжести на единицу массы g=9.81 м/с². Рассчитайте напряжение, вызываемое одним грузом, до трёх значащих цифр по формуле

(5)

Внесите это значение в таблицу. Цена деления индикатора 10^-2 мм. Нагружая проволоку грузами, показания индикатора заносите таблицу, заготовленную заранее по приведённому образцу. Затем, снимая грузы по одному, заполните колонку "Разгрузка". На листе миллиметровки постройте график зависимости ε от σ. Для этого отрезок в 1 или 2 см горизонтальной оси примите за σ₀ и под осью запишите числовое значение σ₀. По горизонтальной оси удобно выбрать масштаб так, чтобы одному делению индикатора отвечал 1 мм. Одному делению соответствует деформация ε₀ =10^-5 м/L(м). Рассчитайте ε₀ до трёх значащих цифр и подпишите слева оси ε. Ось σ разметьте через σ₀, подписывая σ₀, 2 σ₀ и т.д., а ось ε разметьте через 20 ε₀, подписывая 20 ε₀, 40 ε₀ и т.д. Такая разметка облегчит нанесение экспериментальных точек без лишнего счёта, ибо коэффициент при ε₀ - это просто число делений индикатора. Чтобы не путать точки при нагрузке и разгрузке, используйте два цвета или кружочки и крестики. Проведите карандашом плавную линию, идущую как можно ближе ко всем точкам "Нагрузки" и также вторую линию для "Разгрузки". Заметьте, где они почти сливаются, а где заметно расходятся. Для конечного отрезка кривых с помощью прозрачной линейки убедитесь, что последние три-четыре экспериментальные точки лежат почти на одной прямой. Используйте табличные значения для максимальной и пред максимальной нагрузок для вычисления модуля Юнга по формуле , где ∆σ и ∆ε отвечают разностям соответствующих значений. Оставьте в E две значащих цифры. Если "нагрузочное" и "разгрузочное" E отличаются, найдите их среднее. Сравните результат со справочным значением модуля Юнга для стали.

Отчёт включает номер и название работы, дату выполнения, фамилии выполнявших, нужные вам формулы и записи, заполненную таблицу и график. Для зачёта нужно разобраться в методе определения модуля Юнга и быть готовым к ответу на вопросы.

 

Контрольные вопросы

 

1. Модуль Юнга сапфира E=4∙10¹¹ Па. Какую силу нужно приложить к торцам цилиндра длины 2 см и сечения 1 см², чтобы среднее сечение приблизилось к торцу на 10^-8 см (на атомный размер)?

2. Разберитесь качественно в характере деформаций и напряжений при изгибе и выпрямлении тонкого стержня. Они неоднородны по сечению. Объясните, почему тонкий стержень "легче" изгибается, чем сжимается вдоль оси.

3. Если вес проволоки сравним с величиной нагрузки, то нужно учитывать изменение напряжения вдоль проволоки. Введите сами необходимые величины и найдите σ на расстоянии x от верхнего конца (x взято по нерастянутой проволоке).

4. Велика ли по вашим данным деформация, оставшаяся после снятия нагрузки? Что случится, если проволоку заменить на свинцовую, пластилиновую, стеклянную при больших и малых нагрузках?

5. Как проверить, что нелинейная зависимость ε от σ вызвана именно изгибом проволоки, а не нарушением закона Гука для растяжения? Какие изменения в проведении работы и оборудовании можно для этого предложить?

 

Таблица

	Нагрузка	Разгрузка
σ в σ0	∆L, 10—5 м ε в ε0	∆L, 10-5 м ε в ε0	d= 1.0 мм; m=..кг
			σ0=4mg/πd2
			L=0.491 м; ε=10-5/L=204∙10-5
			∆εн=(166-146)ε0=4.08∙10-5
			∆εр=(166-147)ε0=19ε0=…
			Eн=σ/∆εн=…
			Eр=σ/∆εр=…
			Eср=0.5∙(Eн+Eр)=…

E_табл0.42∙10¹¹ Па

Примечание. Числа условные приведены для примера обработки.

 

 

КОЛЕБАНИЯ

Лабораторная работа №16