Определение коэффициентов переноса электронного газа в металлах по их удельным сопротивлениям

Цель работы: определение коэффициентов переноса электронного газа в металлах по их удельным сопротивлениям на основе молекулярно- кинетической теории.

Необходимые приборы и принадлежности: прибор для измерения удельного сопротивления резистивного провода FPM-01

 

Теоритическое введение

 

Из молекулярно- кинетической теории газов известно, что

беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемещению частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то движение молекул выравнивает эти неоднородности. При этом в газе появляются особые процессы, объединенные общим названием явлений переноса. В природе существует три явления переноса, в результате которых происходит перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относится теплопроводность (она обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Закономерности всех явслений переноса сходны между собой. Эмпирические (т.е. основывающиеся на опыте) уравнения указанных процессов применимые к любым средам (твердым, жидким и газообразным) сходны. Так, перенос массы вещества при явлении диффузии подчиняется закону А.Фика:

(1)

Величина характеризующая изменение плотности на единицу длины в направлении , пертепдикулярном к площадке называется градиентом плотности. Коэффициент диффузии есть физическая величина численно равная потоку массы , проходящему в единицу времени через поверхность при градиенте плотности равном единице. Поток массы измеряется в , плотность – в , поверхность в , координата Z– в метрах. Следовательно, коэффициент диффузии измеряется в т.е. имеет размерность квадрата длины, деленного на время.

Уравнение определяющее силу внутреннего трения (вязкость) в газах и жидкостях было установлено И. Ньютоном и называется законом Ньютона:

(2)

В этой формуле – называется коэффициентом вязкости или внутреннего трения. Коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности слоя при градиенте скорости равном единице; -площадь, лежащая на границе между слоями поверхности, по которой действует сила .

Отношение – величина, показывающая, как быстро изменяется скорость течения жидкости или газа в направлении , перпендикулярном к направлению движения слоев, называется градиентом скорости .

 

Согласно второму закону Ньютона сила равна производной импульса по времени. Поэтому уравнение (2) можно представить в виде

(3)

где – импульс, передаваемый от слоя к слою, т.е., поток импульса, через поверхность . Знак минус, указывает, что импульс «течет» в направлении убывания скорости u.

Вязкость измеряется в килограммах на метр- секунду или, что то же самое, в паскаль – секундах .

Уравнение теплопроводности т.е. переноса энергии в форме теплоты, подчиняется закону Фурье:

(4)

Здесь – тепловой поток, который есть количество теплоты проходящее в единицу времени, через некоторую поверхность , перпендикулярную к оси . Отношение называется градиентом температуры, равным скорости изменения температуры на единицу длины в направлении нормали к этой площадки. Коэффициент теплопроводности показывает, какое количество тепла переносится через единицу площади за единицу времени при градиенте температуры, равном единице. Знак минус указывает, что теплота течет в направлении убывания температуры. Единицей теплового потока является джоуль в секунду, т.е. ватт, измеряется в ваттах на метр-кельвин .

Если все эти экспериментальные формулы переносов вывести с помощью молекулярно-кинетической теории газов, получаются следующие выражения для коэффициентов диффузии, внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности

(5)

(6)

(7)

где – теплоемкость газа в изохорическом процессе, – средняя длина свободного пробега молекул, – средняя скорость теплового движения молекул, – плотность газа.

Из сопоставления выражений (5), (6) и (7) следует, что коэффициент явлений переноса, связаны соотношениями:

(8)

(9)

Эти формулы показывают, что по найденным из опыта значениям коэффициента внутреннего трения, теплопроводности или диффузии можно определить остальные коэффициенты переноса.

 

Теория метода измерений

 

В настоящей работе молекулярно-кинетическая теория газов применяется для электронного газа в металлах. Немецкий физик Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. Они совершают беспорядочные движения. В промежутках между соударениями они движутся свободно, пробегая в среднем некоторый путь . Электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. В результате таких столкновений устанавливается тепловое равновесие между электронным газом и кристаллической решеткой. По кинетической теории газов средняя скорость теплового движения электронов оценивается по формуле:

(10)

где – постоянная Больцмана, – термодинамическая температура, – масса электрона, – средняя скорость движения электрона.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для электронного газа имеет вид:

(11)

где – число электронов, находящихся в объеме газа; – средняя кинетическая энергия электрона; – давление газа.

Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью

металлы отличаются также большой теплопроводностью. Из этого, следует, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а свободными электронами. Рассмотрим эти электроны, как одноатомный газ, можно заимствовать для коэффициента теплопроводности выражение кинетической теории газов:

(12)

Здесь плотность газа ( – концентрация электронов, –масса электрона), – удельная теплоемкость газа. Подставив это значение в выражение для получим

(13)

 

Удельная электропроводность металлов согласно классической электронной теории определяется формулой:

(14)

где – число электронов в единице объема, – заряд электрона, – средняя длина свободного пробега электрона, – масса электрона, – средняя скорость теплового движения электрона.

Видеман и Франц установили эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлах приблизительно одинаково и изменяется пропорционально термодинамической температуре:

(15)

Строгие квантовомеханические расчеты дают в уравнении (15) вместо числового коэффициента 2, постоянную , т.е.

(16)

Здесь – коэффициент теплопроводности электронного газа, – удельная электропроводимость, – термодинамическая температура, – заряд электрона, – постоянная Больцмана. Известно, что удельная электропроводность обратно пропорциональна удельному сопротивлению , т.е.

(17)

С учетом этого коэффициент теплопроводности имеет вид:

(18)

Это выражение закона Видемана и Франца позволяет определить теплопроводность электронного газа металла по известному удельному сопротивлению.

Для заданной температуры, зная коэффициент теплопроводности электронного газа в металле, можно найти его коэффициент внутреннего трения из связи между ними:

(19)

где – удельная теплоемкость электронного газа в металлах при постоянном объеме.

Определив можно найти коэффициент диффузии , электронного газа в металле при той же температуре

(20)