Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Уравнения Максвелла в дифференциальной форме




 

Интегральная форма уравнений Максвелла более наглядна, поскольку первое и второе уравнения Максвелла являются обобщениями закона полного тока и закона электромагнитной индукции. Однако для расчетов электромагнитного поля и исследования электромагнитных волн интегральная форма записи уравнений Максвелла мало пригодна. Дальнейшее обобщение приводит к необходимости описания поля в заданной точке пространства. Этого можно достичь, стягивая контур в точку, бесконечно уменьшая его размеры. При этом происходит математический переход к, так называемой, дифференциальной форме записи уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла могут быть представлены в дифференциальной форме:

 

1. ; (5.9)

 

2. ; (5.10)

 

3. ; (5.11)

 

4. . (5.12)

 

В данных уравнениях используются дифференциальные операторы:

Дивергенции

,

 

 

и ротора

 

.

 

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме получаются из интегральных уравнений с помощью теорем Стокса и Гаусса, доказываемых в курсе «Высшей математики»,

 

,

 

.

 

Таким образом, уравнения Максвелла (5.9 – 5.12) представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Их значение заключается в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля и в любой точке пространства.

Для полного определения уравнений Максвелла в дифференциальной форме их необходимо дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия можно сформулировать в краткой форме

 

; ; ; .

 

Для доказательства этих соотношений рассмотрим границу раздела двух однородных магнетиков и очень малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 5.3.

Поток вектора наружу этого цилиндра можно записать в виде:

 

.

 

Взяв обе проекции вектора на общую нормаль , получим , и предыдущее уравнение после сокращения на примет следующий вид:

 

,

 

т. е. нормальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает.

Рис. 5.3

 

Теперь рассмотрим ситуацию, при которой вдоль поверхности раздела течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью . Применим теорему о циркуляции вектора к очень малому прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его длиной , расположив этот контур так, как показано на рисунке (5.4). Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура, запишем для всего контура:

 

,

 

где ‑ проекция вектора на нормаль N к контуру. Взяв обе проекции вектора на общий орт касательной (в среде 2), получим , и после сокращения на предыдущее уравнение примет вид

,

 

т. е. тангенциальная составляющая вектора при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.

Рис. 5.4

 

Если на границе раздела магнетиков проводимости нет ( =0), то тангенциальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:

 

.

 

Таким образом, если на границе раздела нет токов проводимости, то при переходе через границу составляющие и изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же и при этом претерпевают скачок.

Аналогично можно получить условия для вектора электрической напряженности и индукции на границе двух диэлектриков

Также фундаментальные уравнения Максвелла в дифференциальной форме должны быть дополнены соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями. В общем случае они могут быть крайне сложными, поэтому приведем материальные уравнения для случая изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков:

 

; ; ,

 

где – объемная плотность заряда; – диэлектрическая проницаемость среды; Ф/м – электрическая постоянная; – магнитная проницаемость среды; Гн/м – магнитная постоянная; – удельная электрическая проводимость среды.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-02; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1678 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Что разум человека может постигнуть и во что он может поверить, того он способен достичь © Наполеон Хилл
==> читать все изречения...

2488 - | 2299 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.