Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

 

Интегральная форма уравнений Максвелла более наглядна, поскольку первое и второе уравнения Максвелла являются обобщениями закона полного тока и закона электромагнитной индукции. Однако для расчетов электромагнитного поля и исследования электромагнитных волн интегральная форма записи уравнений Максвелла мало пригодна. Дальнейшее обобщение приводит к необходимости описания поля в заданной точке пространства. Этого можно достичь, стягивая контур в точку, бесконечно уменьшая его размеры. При этом происходит математический переход к, так называемой, дифференциальной форме записи уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла могут быть представлены в дифференциальной форме:

 

1. ; (5.9)

 

2. ; (5.10)

 

3. ; (5.11)

 

4. . (5.12)

 

В данных уравнениях используются дифференциальные операторы:

Дивергенции

,

 

 

и ротора

 

.

 

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме получаются из интегральных уравнений с помощью теорем Стокса и Гаусса, доказываемых в курсе «Высшей математики»,

 

,

 

.

 

Таким образом, уравнения Максвелла (5.9 – 5.12) представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Их значение заключается в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля и в любой точке пространства.

Для полного определения уравнений Максвелла в дифференциальной форме их необходимо дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия можно сформулировать в краткой форме

 

; ; ; .

 

Для доказательства этих соотношений рассмотрим границу раздела двух однородных магнетиков и очень малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 5.3.

Поток вектора наружу этого цилиндра можно записать в виде:

 

.

 

Взяв обе проекции вектора на общую нормаль , получим , и предыдущее уравнение после сокращения на примет следующий вид:

 

,

 

т. е. нормальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает.

Рис. 5.3

 

Теперь рассмотрим ситуацию, при которой вдоль поверхности раздела течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью . Применим теорему о циркуляции вектора к очень малому прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его длиной , расположив этот контур так, как показано на рисунке (5.4). Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура, запишем для всего контура:

 

,

 

где ‑ проекция вектора на нормаль N к контуру. Взяв обе проекции вектора на общий орт касательной (в среде 2), получим , и после сокращения на предыдущее уравнение примет вид

,

 

т. е. тангенциальная составляющая вектора при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.

Рис. 5.4

 

Если на границе раздела магнетиков проводимости нет ( =0), то тангенциальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:

 

.

 

Таким образом, если на границе раздела нет токов проводимости, то при переходе через границу составляющие и изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же и при этом претерпевают скачок.

Аналогично можно получить условия для вектора электрической напряженности и индукции на границе двух диэлектриков

Также фундаментальные уравнения Максвелла в дифференциальной форме должны быть дополнены соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями. В общем случае они могут быть крайне сложными, поэтому приведем материальные уравнения для случая изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков:

 

; ; ,

 

где – объемная плотность заряда; – диэлектрическая проницаемость среды; Ф/м – электрическая постоянная; – магнитная проницаемость среды; Гн/м – магнитная постоянная; – удельная электрическая проводимость среды.