Вынужденные электромагнитные колебания. Переменный ток

 

Поддерживать незатухающие колебания в контуре можно, если включить в цепь генератор, электродвижущая сила которого изменяется периодически (рис. 4.3). В этом случае в контуре будут наблюдаться вынужденные колебания. Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.

 

Рис. 4.3 Контур для наблюдения вынужденых колебаний

 

С учетом того, что ЭДС , закон Ома для цепи, изображенной на рис. 4.3 примет вид:

 

.

 

Проведя преобразования, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

 

. (4.15)

 

Установившиеся колебания будут гармоническими с частотой вынуждающей ЭДС

. (4.16)

Амплитуда и фаза зависят от частоты и от параметров контура R, С, L.

По аналогии с механическими колебаниями амплитуда и фаза определяются соотношениями:

;

(4.17)

.

Используя введенные ранее обозначения , , выражения (4.17) преобразуем к виду:

;

(4.18)

.

 

При некоторой частоте внешней ЭДС амплитуда заряда достигает максимума и наблюдается резонанс. Используя аналогию с механическими колебаниями, легко определить условие резонанса в контуре:

, .

(4.19)

 

На рис. 4.4 представлены резонансные кривые напряжения при различных добротностях контура (коэффициента затухания).

 

 

Рис. 4.4 Резонансные кривые

 

Учитывая, что логарифмический декремент затухания , а , частота, при которой наступает резонанс связана с добротностью контура D

. (4.20)

 

Из формулы (4.20) видно, что резонансная частота заметно отличается от собственной частоты только при малых значениях добротности .

На практике электрические колебательные контуры имеют добротность в десятки и сотни единиц. В этом случае , поэтому в радиотехнике резонансные частоты рассчитывают, как правило, по формуле собственной частоты.

Периодический разряд конденсатора по закону (4.16) позволяет найти закономерность изменения тока в контуре:

 

. (4.21)

 

Таким образом, колебательный контур можно рассматривать как цепь переменного тока с частотой генератора, с амплитудой

 

. (4.22)

 

Учитывая, что практически все электрические цепи удовлетворяют критерию квазистационарности, выражение (4.22) можно рассматривать как закон Ома для амплитудных значений тока и ЭДС, а величину

, (4.23)

 

назвать полным сопротивлением цепи переменного тока или импедансом.

Выражение для тока (4.21) запишем в виде:

),

откуда следует, что между изменениями тока и ЭДС наблюдается сдвиг по фазе .

Для более детального изучения процессов в цепи переменного тока, рассмотрим поочередно поведение резистора, конденсатора и катушки индуктивности при подключении к генератору с ЭДС

 

.

 

а) Через резистор сопротивлением R (рис. 4.5) идет ток

. (4.24)

 

 

 

 

Рис. 4.5 Колебательный контур с активным сопротивлением

 

Обозначим амплитуду тока , тогда

 

.

 

Напряжение на резисторе равно

 

, (4.25)

 

где .

Таким образом, между амплитудными значениями тока и напряжения на резисторе сдвиг фаз равен нулю. Для наглядности соотношения между током и напряжением в цепи переменного тока изображают с помощью векторных диаграмм (рис. 4.6)

б) Если к источнику тока подключить конденсатор емкостью С и пренебречь сопротивлением и индуктивностью проводников, разность потенциалов на обкладках будет равна напряжению на клеммах источника, которое изменяется так же, как ЭДС

 

,

а заряд

. (4.26)

 

Сила тока в этом случае определяется выражением

 

. (4.27)

 

 

Рис. 4.6. Векторная диаграмма для токов и напряжений

 

 

Полагая, что закон Ома выполним для амплитудных значений тока и напряжения, получим:

, (4.28)

 

т. е. сопротивление конденсатора переменному току

 

, (4.29)

 

называемое емкостным сопротивлением.

Из (4.27) видно, что изменение тока опережает изменение напряжения, а, следовательно напряжение отстает от изменения тока по фазе на (см. рис. 4.6). Это имеет простой физический смысл. Напряжение на конденсаторе зависит от накопленного к данному моменту времени заряда. Однако этот заряд был создан током, протекавшим в цепи в предшествующие моменты времени.

в) При подключении катушки индуктивности к источнику переменного тока происходит изменение магнитного потока, пронизывающего катушку и в ней возникает ЭДС индукции По второму правилу Кирхгофа сумма всех ЭДС в контуре равна сумме падений напряжений. Следовательно, если пренебречь сопротивлением и емкостью цепи, напряжение на клеммах источника будет равно ЭДС самоиндукции

 

. (4.30)

 

Из выражения (4.30) следует, что

 

.

 

Интегрируя это выражение и учитывая, что постоянная составляющая тока отсутствует, получим

. (4.31)

 

Амплитудное значение тока

. (4.32)

 

Выражение – называется сопротивлением катушки индуктивности переменному току – индуктивное сопротивление.

Из уравнения (4.31) видно, что изменение напряжения опережает изменение тока на , диаграмма этого процесса на рис. 4.6.

Физический смысл этого состоит в том, что напряжение зависит от скорости изменения тока, а она максимальна в момент времени, когда , тогда напряжение достигает максимума.

Катушка с сопротивлением (дроссель) используется для регулирования тока в цепи переменного тока. По сравнению с резисторами дроссели имеют преимущество, так как увеличение сопротивления с их помощью не приводит к тепловым потерям.

Индуктивное сопротивление существует только для переменного тока, поэтому дроссели применяют для разделения переменной и постоянной составляющей тока.

При последовательном соединении элементов цепи переменного тока (рис. 4.3) напряжение на клеммах генератора равно сумме напряжений на резисторе, на емкости и на индуктивности, изменяющихся по гармоническому закону. Так как фазы колебаний напряжения различны, то результат сложения проще получить с помощью векторной диаграммы (рис. 4.6).

Из этой диаграммы получаем для амплитудных значений результирующих напряжений и токов

 

,

 

. (4.33)

 

Для сдвига фаз можно записать:

 

. (4.34)

 

Выражение (4.33) – это закон Ома для цепи переменного тока, которое уже было получено при изучении вынужденных колебаний.

Наименьшее сопротивление цепи будет при , или

. (4.35)

 

тогда амплитудное значение тока будет максимальным

 

. (4.36)

 

Это явление называется резонансом напряжений, который наблюдается в узком интервале частот относительно .

Как следует из векторной диаграммы (рис. 4.6), в момент резонанса напряжения на индуктивности и емкости равны друг другу. Проделаем ряд математических преобразований

 

, (4.37)

 

который позволяет найти связь между напряжением на конденсаторе (на катушке) через добротность контура D. В некоторых случаях (радиотехнические устройства) добротность достигает сотен и тысяч единиц, тогда напряжения и значительно превышают напряжение на источнике (этим объясняется название ‑ резонанс напряжений).

Явление резонанса напряжений используется для настройки радио- и телеустройств на нужную длину волны (частоту). Оно учитывается при расчете электрической прочности изоляции проводов.

При параллельном соединении индуктивной катушки и конденсатора (рис. 4.7) в них потекут токи, амплитудные значения которых и (без учета сопротивления проволоки катушки).

 

Рис. 4.7 Параллельный колебательный контур

 

При частоте эти токи будут одинаковы (и достаточно велики), а фазы их изменений противоположны, так что ток в цепи источника становится равным нулю. Это явление называется резонансом токов. Получается, что колебательный контур представляет большое сопротивление переменному току при частоте и малое для остальных частот. Это явление используется в резонансных усилителях. При устройстве печей параллельно нагревающей катушке присоединяют конденсатор, электроемкость которого подбирают так, чтобы частота колебаний образовавшегося колебательного контура была равна частоте питающего генератора.

В этом случае ток в катушке резко возрастает по сравнению с током через генератор и подводящие провода.

Цепи переменного тока содержат устройства, являющиеся потребителями или преобразователями электрической энергии, поэтому необходимо знать, как вычисляется мощность в цепи переменного тока. Основываясь на свойстве квазистационарности цепи, можно использовать для мгновенного значения мощности известную формулу

.

Так как , , то для мощности получим выражение

. (4.38)

Из выражения (4.38) видно, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока различна в различные моменты времени.

На практике, как правило, пользуются понятием средней мощности. Имея в виду периодичность изменения мощности, достаточно вычислить среднее значение мощности за один период колебания:

. (4.39)

Используя тригонометрическую формулу

и учитывая, что интеграл от за период времени Т равен нулю, из (4.39) получим:

. (4.40)

Если в цепи имеется только резистор с сопротивлением R, то и мощность равна

. (4.41)

Эта формула окажется идентичной формуле мощности для постоянного тока, если ввести обозначения

и . (4.42)

Величины и называются эффективными значениями тока и напряжения соответственно. Они имеют определенный физический смысл.

Эффективными (или действующими) значениями тока и напряжения называются также соответствующие величины постоянного тока, который выделяет те же среднюю мощность, что и данный переменный ток.

При наличии в цепи только конденсатора, или только катушки индуктивности , так что средняя мощность равна нулю, то есть энергия не выделяется. Поэтому R _С и R_L называются безваттными или реактивными сопротивлениями, а сопротивление резистора называется активным.

В цепи, содержащей R, L, C мощность также выделяется только в резисторе (джоулева теплота). При этом потребляется не вся мощность источника, а лишь ее часть, зависящая от значения . Остальная часть «перекачивается» туда и обратно между источником и потребителем. На практике стремятся так подбирать R _С и R_L в цепи, чтобы увеличить , наименьшее значение которого в промышленных цепях должно составлять примерно 0,85.

Электроизмерительные приборы в цепи переменного тока показывают именно эффективные значения.

 

 

Выводы

Колебания, как физический процесс, занимают особое место в физике. Несмотря на огромное разнообразие колебаний, математические закономерности описывающие их оказываются универсальными. Поэтому изучение электромагнитных колебаний во многом упрощается, если использовать метод аналогий с уже рассмотренными механическими колебаниями. Но имеется принципиальное отличие, заключающееся в практической важности электромагнитных колебаний. Этот вид колебаний лежит в основе законов, описывающих переменный ток, без которого невозможно представить современную промышленность и вообще цивилизацию, ведь большинство технических приборов и устройств используют в своей работе переменый ток. А переменный ток в электрических цепях явяляется результатом возбуждения в них вынужденных электромагнитных колебаний. Эти вынужденные колебания создаются электрогенераторами на электростанциях.

Именно законы электромагнитных колебаний определяют работу радиотехнических, телевизионных, компьютерных и прочих устройств. Например, в электрических цепях часто используется контур, в котором конденсатор и катушка индуктивности подключаются к источнику тока параллельно. В таком контуре наблюдается параллельный резонанс, при котором контур приобретает наибольшее сопротивление и практически перестает пропускать через себя электрический ток. Контур с параллельным резонансом используют для выделения сигналов, частота которых совпадает с резонасной частотой контура, так как при параллельном резонансе падение напряжения на концах контура принимает максимальное значение. Примером может служить входной контур любого радиоприемника, позволяющий изменением емкости конденсатора настраиваться на частоту нужной радиостанции и резко усиливать ее сигнал.

Однако не менее важным фактом является то, что электромагнитные колебания являются причиной возникновения электромагнитных волн. Не будет преувеличением отметить, что электромагнитные волны встречаются во всех разделах современной физики.

Эти волны определяют не только характер современной цивилизации, но и вообще существование этой цивилизации. Ведь свет, тепловое излучение являются вариантами проявления электромагнитных волн.

Как только ученые открыли связь между электромагнитными колебаниями и соответстующими волнами, начались активные попытки по практическому применению этих открытий.

Уже в 1829 г. П.Л. Шиллинг в Петербурге создал телеграф, позволявший по проводам передавать все буквы русского алфавита. В 1835-1844 гг. С. Морзе в США изобрел свою азбуку и внедрил двухпроводный телеграф, передающий сигналы в виде «точек» и «тире». Первый подводный кабель был проложен в 1851 г. между Англией и Францией, а в 1866 г. удалось установить постоянно действующую телеграфную линию по дну Атлантического океана между Европой и Америкой (в ее создании активно участвовал У. Томсон). Именно У. Томсон в 1853 г. разработал теорию электромагнитных колебаний.

С 60-х годов XIX века начались интенсивные поиски электродинамических способов передачи звуковых сигналов. Наиболее удачным оказался способ, предложенный в 1876 г. А.Г. Беллом в США, сейчас известен как телефонный аппарат.

Широкое внедрение телеграфной и телефонной связи оказало стимулирующее воздействие на развитие электродинамики квазистационарных и переменных токов. Второй обширной областью практического применения электричества стала проблема освещения. В 1876 г. П.Н. Яблочков изобрел дуговую лампу, позволившую применить электричество для освещения.

В 80-х гг. «свечу» Яблочкова начала вытеснять лампа накаливания, изобретенная в России А. Н. Лодыгиным. Более удачную конструкцию лампы накаливания с вольфрамовой нитью создал в 1879 г. Т.А. Эдисон. Данная конструкция до сих пор используется в лампах накаливания.

 

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ток смещения

 

Теория электромагнитного поля, которая была предложена Фарадеем, была математически и логически завершена в работах Максвелла. При этом Максвелл выдвинул важную идею, согласно которой должна существовать «симметрия» во взаимозависимости электрического и магнитного поля. То есть, если переменное во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле, можно ожидать, что и меняющееся во времени электрическое поле должно порождать магнитное поле.

Действительно, электрическое поле может создаваться двумя способами: зарядами (так создается кулоновское поле) и изменяющимся во времени магнитным полем (так создается индукционное поле). Однако до сих пор упоминался лишь один способ возникновения магнитного поля – посредством тока. Поэтому естественно предположить, что и для магнитного поля должен существовать второй способ его возникновения.

Рассмотрим еще раз закон полного тока, определяющий циркуляцию магнитного поля,

 

,

 

где и – сила результирующего макротока и микротока, соответственно, сквозь поверхность, образованную замкнутым контуром .

Максвелл обобщил закон полного тока. Согласно его гипотезе, кроме токов (макротоков в проводниках и микротоков в магнетиках), должна существовать еще одна причина возникновения магнитного поля. С целью иллюстрации рассуждений Максвелла, рассмотрим предложенный им мысленный эксперимент.

Если в данной цепи (рис. 5.1) замкнуть ключ, то лампа при постоянном токе гореть не будет, поскольку емкость C – разрывает цепь постоянного тока. Но в моменты включения лампа будет вспыхивать.

 

 

Рис. 5.1

 

Если в предложенной электрической цепи включить источник переменного тока – лампа будет гореть, но в то же время ясно, что электроны с одной обкладки на другую не переходят, поскольку между ними изолятор (или вакуум). С другой стороны с помощью соответствующего прибора, измеряющего магнитное поле, можно обнаружить, что в промежутке между обкладками существует магнитное поле (рис. 5.2).

 

 

Рис. 5.2 Иллюстрация возникновения тока смещения

 

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Максвелл определил плотность тока смещения в виде:

 

, (5.1)

где ‑ вектор электрического смещения (именно название этого вектора дало название току смещения).

Теперь сумму тока проводимости и тока смещения можно назвать полным током. Его плотность:

 

. (5.2)

 

Несмотря на кажущуюся общность, ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых. Поскольку вектор смещения равен , то отсюда видно, что плотность тока смещения складывается из «истинного» тока смещения и тока поляризации ‑ величины, обусловленной движением связанных зарядов. Очевидно, токи поляризации должны возбуждать магнитное поле, поскольку по своей природе эти токи не отличаются от токов проводимости. Самое «интересное» физическое свойство заключено в слагаемом , которое не связано ни с каким движением зарядов, а обусловлено только изменением электрического поля. Другими словами, даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле. Ток смещения в вакууме не выделяет джоулева тепла. Ток поляризации выделяет теплоту, связанную с трением в процессе поляризации диэлектрика.

Открытие Максвеллом тока смещения является чисто теоретическим выводом, однако данное открытие по своей значимости для физики аналогично открытию электромагнитной индукции Фарадеем.