Элементы квантовой электроники 3 страница

; (2)

- средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из примера 11:

. (3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

,

где ρ- плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па.

Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота – при нормальных условиях , и при заданных условиях:

; (6)

Учитывая, что , , имеем

(7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

(8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

;

.

Ответ: , .

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: , , .

Найти: Q; ; А.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении

. (1)

Здесь с_р и -удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; -молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

; .

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

, (2)

Здесь с_р и С_р=Мс_р–удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; - молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

; .

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

,

Где С_V –молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов

; .

Работа расширения газа при изобарном процессе , где - изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона –Менделеева. При изобарном процессе

; (3)

(4)

Почленным вычитанием выражения (3) и (4) находим

,

Следовательно,

. (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем:

;

;

.

Ответ: .

15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. Насколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение происходило: а) изобарно; б) адиабатно.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Применимпервый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплотыQ, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А:

. (1)

Величину можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме и изменение температуры :

(2)

Однако удобное изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С_V, которая может быть выражена через число степеней свободы:

. (3)

Подставляя величину с_v из формулы (3) в (2), получаем

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии , которая выражается формулой (4). Найти для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клайперона –Менделеева для начального и конечного состояний газа:

; ,

или

(5)

Подставив (5) в формулу (4), получим

(6)

Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому . Уравнение (1) запишется в виде

(7)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть осуществлена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ):

(8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

, (9)

где γ – показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: . Для аргона – одноатомного газа - имеем .

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

(10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона –Менделеева для данного случая: , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

(11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

;

б) при адиабатном расширении

.

Ответ: а) б) .

16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле

(1)

или

. (2)

Из выражений (2) и (10 находим

Вычислим:

;

.

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мащность машины 335 Вт.

Ответ: ; .

17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и значения их температуры становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение. Пусть температура горячей воды Т₁, холодной Т₂, а температура смеси Θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

, или ,

откуда

(1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,

Изменение энтропии системы равно

,

или с учетом соотношения (1) имеем

.

Так как и , то .

18. Два одинаковых заряда находятся в воздухе на расстоянии 0,1 м друг от друга. Напряженность поля в точке, удаленной на расстояния 0,06 и 0,08 м от одного и другого зарядов, равна 10 кВ/м. Определить потенциал поля в этой точке и величину зарядов.

Дано: ; ; ; ; .

Найти: ; φ.

Решение. Напряженность Е и потенциал φ поля точечного заряда q определяется по формулам:

; ,

Где ε – диэлектрическая проницаемость среды; ε₀ – электрическая постоянная; r–расстояние от заряда до точки поля. Как видно из рис. 1 , так как .

Рис. 1

 

Откуда:

.

Определим потенциал:

Ответ:

19. Две параллельные плоскости одноименно заряжены с поверхностной плотностью зарядов 2 и 4 нКл/м². Определить напряженность поля: а) между плоскостями; б) вне плоскостей.

Дано: ;

Найти: и .

Решение. Как видно из рис. 2, в зазоре между плоскостями , так как направления векторов Е₁ и Е₂ противоположны. Тогда , где ε₀ – электрическая постоянная.

.

Рис. 2

В пространствевне зазорамежду плоскостями векторы Е₁ и Е₂ совпадают по направлению. Поэтому

Ответ:

20. Заряд величиной 1 нКл переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 0,1 м от поверхности металлической сферы радиусом 0,1 м, заряженной с поверхностной плотностью 10^-5 Кл/м². Определить работу перемещения заряда.

Дано: ; ; ; .

Найти: А.

Решение. Потенциал поля , создаваемого заряженной сферой на расстоянии от ее центра, определяется по формуле:

,

где - заряд сферы; - электрическая постоянная.

Потенциал поля на расстоянии равен нулю: . Работа А по перемещению заряда q из бесконечности в точку поля равна:

.

Ответ: .

21. Конденсатор с парафиновым диэлектриком заряжен до разности потенциалов 150В. Напряженность в нем равна , площадь пластин 6 см². Определить емкость конденсатора и поверхностную плотность заряда на обкладках .

Дано: ; .

Найти: С и σ.

Решение. В плоском конденсаторе напряженность поля , где ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная. Откуда

.

В плоском конденсаторе разность потенциалов U и напряженностьЕ связаны зависимостью , зазор между обкладками. Откуда . Емкость С плоского конденсатора определяется по формуле:

.

Ответ: ; .

22. Энергия плоского воздушного конденсатора 40 нДж,разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь платин 1см².

Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.

Дано: ; ; ; .

Найти: в, Е, w.

Решение. Энергия конденсатора ; емкость конденсатора , следовательно, . Отсюда

.

Напряженность поля конденсатора

.

Объемная плотность энергии поля:

.

Ответ: ;

23. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна 1 МА/м². Определить напряжение на концах проводника.

Дано: .

Найти: U.

Решение. По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока j в проводнике пропорциональна напряженности Е поля в проводнике , где -удельная проводимость; -удельное сопротивление проводника. С другой стороны , где U- напряженность на концах проводника длиной ℓ. Тогда , откуда .

Ответ: .

24. Определить электродвижущую силу аккумуляторной батареи, ток короткого замыкания которой равен 10 А, если при подключении к ней резистора сопротивлением 2 Ом сила тока в цепи равна 1 А.

Дано:

Найти: ε.

Решение. По закону Ома и где r-внутреннее сопротивление батареи. При коротком замыкании цепи внешнее сопротивление и , откуда . Тогда или .

Ответ: .

25. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной длиной 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к нему (рис.3).

Рис. 3

Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводнике равны 2А. Влияние проводящих проводов не учитывать.

Дано:

Найти: В.

Решение: Индукция в точке поля от элемента любой конфигурации проводника с током I, определяется по закону Био-Савара –Лапласа:

(1)

где r- расстояние от элемента до точки, где определяется индукция; - угол, составленный векторами и r; - магнитная постоянная. Направление вектора индукции перпендикулярно плоскости, содержащей и r, и определяется правилом правого винта. Например, в центре окружности (см. рис.) векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем индукцию в центре окружности радиуса : .

Индукция, создаваемая в точке М отрезками АВ и ВС и прямого проводника на расстоянии от него, равна:

.