Элементы квантовой электроники 2 страница

Примеры решения задач

1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением .
Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислитьсилу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:

Мгновенное ускорение определяемся первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma,где а, согласно условию задачи, - ускорение в конце второй секунды. Тогда

Ответ:

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с. Какой покажется наблюдателю его длина?

Дано: ℓ_о= 1 м; ν = 0,8 с.

Найти: ℓ.

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой

(1)

где ℓ_о- длина покоящегося стержня; ν - скорость его движения; с -скорость света в вакууме. Подставляя в формулу (1) числовые значения имеем

Ответ: ℓ = 0,6 м..

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями;:1) n=0,5си u=0,75с; 2) ν=с и u=0,75с. Найти их относительнуюскорость в первом и втором случаях.

Дано: 1) n=0,5с, и = 0,75с; 2) n=с, u = 0,75с.

Найти:

Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,

где ν, u- скорости соответственно первой и второй частиц; и'- их относительная скорость; с - скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ:

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаютсямежду собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнуротклонился на угол = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным инеупругим. Определить энергию, израсходованную на деформациюшаров при ударе.

Дано: m = 0,5 кг; m₂=1кг; α = 60°; ℓ=0,8 м.

Найти: h₁; ∆E_g.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара они будут двигаться с общей скоростью ν. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид

(1)

Здесь n₁и ν₂ - скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равно нулю (n₂=0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол αему сообщается потенциальная энергия, котораязатем переходит в кинетическую: . Таким образом, , поэтому

(2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

(3)

Кинетическая энергия, которой обладают после удара, переходит в потенциальную:

Где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим , или с учетом (3),

;

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

Используя уравнения (2) и (3), получаем

;

Ответ: ; .

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему «молот – изделие – наковальня» считать замкнутой.

Дано: ; ; .

Найти:

Решение. По условию задачи, система «молот – изделие – наковальня» считается замкнутой, а удар неупругим. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем

Где - скорость молота в конце падения с высоты h; -общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения импульса:

Для рассматриваемой системы закон сохранения импульса имеет вид , откуда

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

;

Ответ: .

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением . Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: ;

Найти: А, Т=f(t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

, или .

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

;

Тогда

Из выражения (3) определим ds:

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:

Кинетическая энергия определяется по формуле

Подставляя (3) в (7), имеем

Ответ: ; .

7. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы на, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии,

Где m-масса ракеты; М- масса Земли; G – гравитационная постоянная; и - скорости ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; и R – расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты времени; - потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии R от ее центра.

После преобразования уравнения (1) имеем .

Ракета не вернется на Землю, если ее скорость ν будет в бесконечности равна нулю, т.е. при . В этом случае .

Из закона всемирного тяготения следует, что поверхности Земли , откуда

где g- ускорение свободного падения. Подставим (2) в (3):

или .

Считая, что ракета приобретает нужную скорость ν₀ уже вблизи поверхности Земли, находим

Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.

Ответ: .

8. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: .

Найти: .

Решение. Используем закон сохранения момента импульса

Где J_i – момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

По теореме Штейнера,

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярно ему:

; .

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

Откуда

, .

Ответ: .

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ω=0; m=4 кг; n=720 мин^-1=12c^-1; ; .

Найти: М; N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

где J- момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; - изменение угловой скорости за промежуток времени .

По условию, , где - начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость . Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда и . Момент инерции маховика , где m- масса маховика; R- его радиус. Формула (1) принимает вид

Откуда

Угол поворота (т.е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

где - угловое ускорение.

По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так:

Так как , , то число полных оборотов

; .

Ответ: .

10. В сосуде объемом 2 м² находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27⁰С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V=2м³; m₁=4кг; М₁=4×10^-3 кг/моль; m₂=2кг; М₂ =2×10^-3 кг/моль; Т=300К.

Найти: р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона – Менделеева, применив его к гелию и водороду:

;

Где р₁- парциальное давление гелия; М₁ – его молярная масса; V – объем сосуда; Т-температура газа; R=8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; p₂–парциальное давление водорода; m₂- масса водорода; М₂ – его молярная масса. Под парциальным давлением р₁ и р₂ понимают то давление, которое производил бы газ, если бы он один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

. (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в уравнение (3). Имеем

. (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

где v₁ и v₂ – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:

;

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

Ответ: р=2493 кПа; М=3×10^-3кг/моль.

11. Чему равны средние значения кинетической энергии поступательного и вращательного движений молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m=2 кг; Т=400К; М=2×10^-3 кг/моль.

Найти: ; .

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k – постоянная Больцмана; Т- термодинамическая температура. Поступательному движению приписываются три (i=3), а вращательному две (i=2)степени свободы. Энергия одной молекулы

; .

Число молекул, содержащихся в массе газа,

Где ν – число молей; N_А – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

, (1)

Где R=kN_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

Ответ: ; .

12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде вместимостью 2 л при температуре 27⁰ С и давлении 100 кПа.

Дано: ; .