Тема 3. Функции и их графики. 3 страница
Лекции.Орг

Поиск:


Тема 3. Функции и их графики. 3 страница




№3.

 

 

 
 


Тема 4. №1. а) Гипербола с центром (2;3) и полуосями a = 3, b = 4; б) окружность
с центром (4; - 3) и радиусом 6; в) парабола с вершиной (- 4; 4) и ветвями, направленными вправо; г) эллипс с центром (3; - 1) и полуосями a = 4, b = 2.
№2. (х + 1) 2 + (у – 1) 2 = 5. №3. + у 2 = 1. №4. х 2у 2 = 1. №5. х 2 = - 2у.
№6. (х – 3) 2 + (у – 4) 2 = 25. №7. +у 2 = С 2. №8. - = 1.
Тема 5. №1. N0(ε) = ; 2; 7; 24. №2. δ(ε) = 2,5ε; 0,25; 0,05.
№3. Указание. Воспользоваться определением предела функции по Гейне.
№4. а) 0;б)0; в) 0,5; г) 0; д) ∞; е) ∞; ё) 9; ж) – 3; з) 1; и) 3; й) 2; к) 0; л) 1,5;
м) 0,25; н) 1,75; о) 2/3; п) 1,5; р) -0,5; с) 1,5. №5. а) 1; б) 3; в) 0,25; г) 0,5; д) 0,5;
е) е 3; ё) е – 4; ж) е – 4; з) 3; и) 4/9; й) е – 1; к) 2,5. №6. 128 / 729.
Тема 6. №1. а) х = 4 – точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 – точка разрыва 1-го рода;
в) х = 3 – точка разрыва 2-го рода; г) х = 0 – точка устранимого разрыва;
д) х = , х = - точки разрыва 2-го рода, х = - точки устранимого разрыва, п Z.
Тема 7.
№1. а)
; б) – 2sin 2x; в) - . №2. а) 14х 6 – 10х + ; б) ;
в) ; г) - ; д) - ; е) cos ; ё) ; ж) ;
з) - ; и) – ln 3 · sin 2x · ; й) ;
к) . №3.у’ = .
№4. 120х + + 2 х ln 32. №5. а) sin ; б) .
Тема 8. №1.у = (6х 2 + 6х + 6)∆х + (6х + 3)∆х 2 + 2∆х 3, dy = (6х 2 + 6х + 6)dx.
№2. а)0,77; б) 2,995.
Тема 9. №1. а) ; б) ; в) 0; г) 0; д) ∞; е) ; ё) 1; ж) 1; з) 1.
Тема 10. №1.х = - 2, у = х – 1, у = - х + 1. №2. Возрастает при х (- ∞; - 1) (5; + ∞), убывает при х (- 1; 5). №3. х 1 = - точка локального максимума, у (х 1) = ;
х 2 = 2 – точка локального минимума, у (х 2) = 0. №4. Выпукл вверх при х (- ∞; - 2),
выпукл вниз при х (- 2; + ∞); М (- 2; 64) – точка перегиба.
№5. а) б)

в) г)

д)


Тема 11. №1. а)
х 2 + у 2 < 9 – круг с центром (0; 0) и радиусом 3;
б)| х + у | ≤ 1 – полоса между прямыми х + у = - 1 и х + у = 1.
№2. а)zx' = 2х + 3 - , zу' = - 1 + ; б)zx' = , zу' = .№3. а) =6 + 2у, =2х + 4у – 4, =4х – 6у; б) = - sin ,
= - sin , = - sin , = - sin + cos ,
= - sin - cos , = sin - cos . №4.(4ху)dx + (9у 2х)dy.

№5. 1,509. №6. Увеличится на 10,25%. №7.- . №8. . №9.Точка М0 лежит
на линии уровня х 2 + у 2 = 5, gradz (M0) = - 2i – 4j, | gradz (M0) |= 2 .

Тема 12. №1. а)min y = y(- 1) = y(1) = 2, max y = y(- 3) = 66; б)min y = y(0) = y(1) = - 4, max y = y(4) = 0. №2.Через 1 неделю. №3. 13. №4. а)М(- 4; 1) – точка минимума,
z (М) = - 1; б) М1(0; 0) – точка минимума, z 1) = 0, М2(1; 0), М3(- 1; 0) – точки макси-мума, z 2) = z 3) = . №5. min z = z = , max z = z(0; 1) = 7.
№6.М (- 1,5; - 1,5) – точка минимума, z(М) = - 4,75. №7.(90; 60).
Тема 13. №1. а) 2 - + С; б) ln + C; в)– 2ctg 2x + C; г) tg xx + C.
№2. а) ln |x 2 – 5| + C; б) arctg x 3 + C; в) 2 + С; г) + С;
д) arcsin x + C; е) arctg + C. №3. а)x cos x + sin x + C; б) x ln xx + C;
в) (10х 2 – 12х – 1) sin 2x + (5x – 3) cos 2x + C; г) arctg x - + C;
д)х ctg x + ln |sin x| + C; е) - + ln + C; ё) (sin x + cos x) е х + С.
№4. а)ln + C; б)х + 2,5 ln |х 2 – 6х + 10| + 5 arctg (х – 3)+ С;
в) ln - + arctg x + C; г)ln + arctg x + + С;
д) ln + arctg + C. №5. а) cos 7x - cos 5x + C;
б) х - sin 4x + C; в) sin 2x - sin 8x + C; г) ln + C.
№6. а) + +3 + 3 ln | - 1| + C;
б) arcsin + + C; в) + С; г) arccos + C.
Тема 14. №1. а)2 ; б)4 – 2 ; в) 1 .
Тема 15. №1. а) 1; б) ; в) расходится; г) .
Тема 16. №1. а)2 ; б) 6π. №2. . №3. .
Тема 17. №1.
у = С (х + 1)е – х. №2.у = . №3. = ln |Cx|. №4.(х – 2)2у 2 = 4.
№5. а) у = ; б) у = (х + arcsin x) .
№6. а) у – 3 = С cos3x – 3 sin x cos2x; б) у = . №7. а) х 3 + 2ху – 3у = С;
б) + у = 2.
Тема 18. №1. а)у = - ln |cos x|; б) у = х 3 + 3х; в) у = ; г) у = ± .
Тема 19. №1. а) у = С1е х + С2е – 2х; б) у = (С1 + С2х) е х; в) у = (С1cos 3x + C2sin 3x) e 2x;
г) у = (С1 + С2х) cos x + (C3 + C4x) sin x. №2. а) у = С1cos x + C2sin x + (2х – 2) е х;
б) у = С1 + С2х + (С3 + х) е – х + х 3 – 3х 2.
Тема 20. №1. а) сходится; б)расходится; в) расходится; г) сходится; д) сходится;
е) сходится; ё) сходится; ж) сходится; з) сходится. №2. а)сходится условно;
б) сходится условно; в) сходится абсолютно.
Тема 21. №1. а) – 1 < x ≤ 1; б) – 5 ≤ x < 3; в)- ∞ < x < +∞; г) х = 0; д) x .
Тема 22. №1. = (- 3 < x < - 1). №2. а) (- ∞ < x < +∞);
б) 1 + ( | х | < 1); в) . Указание. Воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии; г) ( | х | < ). Указание. Разложить данную дробь
на простейшие. №3.arcsin x = х + . №4. ln . №5. sin 1 ≈ 0,8417
с точностью до 0,0002. №6. 0,999848. №7. 3,1416.

 

Ответы к домашним заданиям.

 

Тема 1. №1. а) ; б) 0. №2. log 3 4. №3. “+”. №4. D(y) = (0; 2) (3; + ).
№5. tg = - , cos = , sin = - . №6. а) 2cosec ; б) ; в) ; г) 1;
д) . №7. 9. №8. 4 .
Тема 2. №1. а) – 0,5 + 1,5i;б)– 1; в) 2 i;г) 8; д) + i , - 1 + i,
- - i ; е) 1 ± i, - 1 ± i. №2. а) ± 2i; б) 3 ± 3i; в) 4 ± i, - 4 ± i.
Тема 3. №1. а)
Ø; б) (- 5; - 4) (0; 5); в) (0; 1) (1; 3). №2. а) (- ∞; 9]; б) [3- 16; + ∞).
№3.

       
   
 


 

Тема 4. №1. а) эллипс с центром (2; - 1) и полуосями a = 2, b = ; б) парабола
с вершиной (2; - 3) и ветвями, направленными влево; в) окружность с центром
(- 5; 2) и радиусом 4; г) гипербола с центром (- 5; 1) и полуосями a = 8, b = 6.
№2. х 2 + (у – 4) 2 = 16. №3. + = 1. №4. = 1. №5. у 2 = 4х.
Тема 5. №1. N0(ε) =; 1; 3; 8. №2. δ(ε) = 2ε; 0,2; 0,06. №4. а) 3; б) 4;
в) 0,5; г) - ; д) ; е) при х → ∞; - 2 при х → - ∞;ё) 1; ж) ; з) – 1; и) ;
й) – 3; к) 4; л) ; м) 6 ; н) 1; о) е – 4; п) е 10; р) – 2; с) ; т) ; у) - .
Тема 6. №1. а) х = 1 – точка разрыва 1-го рода; б) х = - 1 – точка устранимого разрыва, х = 1 – точка разрыва 2-го рода; в) х = πп – точки устранимого разрыва,
х = + πп – точки разрыва 2-го рода, п Z.
Тема 7.
№1. а)
; б) 3х ln 3. №2. а) - ; б) ; в) ;
г) 6 ln 2 · · x + ctg x; д) ; е) + arctg x · x arctg x – 1.
№3. . №4. а) cos ; б) ln n 2 (2 x + (- 1) n2x); в) .
Тема 8. №1. е 3х – 5 dx. №2. а)1,077; б) 1,0349.
Тема 9. №1. а)2; б) 0,5; в) 1; г) ; д)3; е) .
Тема 10. №1.у = 2х + при х → + ∞, у = 2х - при х → - ∞. №2. Возрастает при
х (- 2; 0), убывает при х (0; 2). №3. уmax = 0,2. №4.Выпукла вниз при
х (- ∞; - ) (1; + ∞), выпукла вверх при х (- ; 0) (0; 1), х = - - точка перегиба, в точке х = 0 перегиба нет.
№5. а) б)
в) г)
Тема 11. №1.
х 2 + у 2 > 4 – внешность круга с центром (0; 0) и радиусом 2.
№2. их' = - , иy' = - ,
иz' = . №3.9,36. №4. . №5. gradz (M0) = 0,3i ,
| gradz (M0) |= 0,3.
Тема 12. №1.min y = y = - 9,75, max y = y(8) = 24. №2.0,3 м; V = 0,486 м 3. №3. .
№4. а)М(1; 2) – точка минимума, z(М) = - 7; б) М - точка максимума,
z(М) = . №5.zmin = ln (4 - ), zmax = ln (4 + ).
№6. zmin (1; 1) = 2. №7.(0; 500).
Тема 13. №1. а) -3х + 6 - ln |x| + C; б) 5 tg x + 2 ctg x + C; в) + С;
г) 2 + ln 2x + С; д) + С; е) arcsin + C; ё) х arcsin x + + C;
ж) (х 2 – 2) sin x + 2x cos x + C; з) х 2 + х sin 2x + cos 2x + C; и) - ln ;
й) е х (sin x – cos x) + C; к) 5х + ln + C; л) х 3 + х 2х + arctg + C;
м) 3 ln + 2 arctg + C; н) + + 2 ln + C;
о) + arctg + C; п) ln + arctg + C;
р) + - arctg x + С; с) cos 8 cos 6 + C; т) + ;
у) + + С; ф) sin + 3 sin + C; х) ln + C;
ц) – 2 arctg + C; ч) + С; ш) 2 arcsin x (2 – x 2) + C;
щ) arcsin + C.
Тема 14. №1. а)33 ; б) ; в) (4 - 3) – ln .
Тема 15. №1. а) π; б)расходится.
Тема 16. №1. а)20 ; б) π. №2. . №3. .
Тема 17. №1. а) ln |x| = C + ; б) 2 = 1 + е х; в) у = С ; г) у = х ;
д) у = х (С + sin x); е) у = ; ж)у (е х + Се 2х) = 1; з) х 3у – 2х 2у 2 + 3у 4 = С.
Тема 18. №1. а)у = 3 ln x + 2х 2 – 6х + 6; б) у = х 2; в) 2у 2 – 4х 2 = 1.
Тема 19. №1. а)у = С1е 2х + е – х2cos x + C3sin x); б) у = С1е х + С2е – х + С3cos x +
+ C4sin x; в) у = С1 + С2х + С3х 2 + е 3х4 + С5х); г) у = С1е х + С2е – х + С3е 2х + С4е – 2х;
д) у = 1 + С2х) е – 2х + е 2х;
е) у = С1cos x + C2sin x + C3cos 2x + C4sin 2x x cos x.
Тема 20. №1. а) расходится; б) расходится; в) сходится условно; г) расходится;
д) сходится абсолютно; е) расходится; ё) сходится; ж) расходится; з) сходится.
Тема 21. №1. а) – 1 ≤ х < 1; б) 2 ≤ х < 3; в) х .
Тема 22. №1. cos = . №2. а)2 ;
б) х п ( | х | < 1). №3. arctg x = х 2п + 1. №4. ( | х | < 1).
№5. 1 + ln (1 – х) ( | х | < 1). №6. а) 0,607; б) 0,158.





Дата добавления: 2016-11-02; просмотров: 198 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.005 с.