3.
 |
4. 1. ) (2;3) a = 3, b = 4; )
(4; - 3) 6; ) (- 4; 4) , ; ) (3; - 1) a = 4, b = 2.
2. ( + 1) 2 + ( 1) 2 = 5. 3. 
+ 2 = 1. 4. 2 2 = 1. 5. 2 = - 2 .
6. ( 3) 2 + ( 4) 2 = 25. 7. 
+ 2 = 
2. 8. 
- 
= 1.
5. 1. N0(ε) = 
; 2; 7; 24. 2. δ (ε) = 2,5ε; 0,25; 0,05.
3. . .
4. ) 0; ) 0; ) 0,5; ) 0; ) ∞; ) ∞; ) 9; ) 3; ) 1; ) 3; ) 2; ) 0; ) 1,5;
) 0,25; ) 1,75; ) 2/3; ) 1,5; ) -0,5; ) 1,5. 5. ) 1; ) 3; ) 0,25; ) 0,5; ) 0,5;
) 3; ) 4; ) 4; ) 3; ) 4/9; ) 1; ) 2,5. 6. 128 / 729.
6. 1. ) = 4 2- ; ) = 0 1- ;
) = 3 2- ; ) = 0 ;
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, = 
- 2- , = 
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Z.
7. 1. ) 
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; ) 
;
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. 3. = 
.
4. 120 + 
+ 2 ln 32. 5. ) sin 
; ) 
.
8. 1. ∆ = (6 2 + 6 + 6)∆ + (6 + 3)∆ 2 + 2∆ 3, d y = (6 2 + 6 + 6)d x.
2. ) 0,77; ) 2,995.
9. 1. ) 
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; ) 0; ) 0; ) ∞; ) 
; ) 1; ) 1; ) 1.
10. 1. = - 2, = 1, = - + 1. 2. (- ∞; - 1) 
(5; + ∞), (- 1; 5). 3. 1 = 
- , ( 1) = 
;
2 = 2 , ( 2) = 0. 4. (- ∞; - 2),
(- 2; + ∞); (- 2; 64) .
5. ) 
) 
) 
) 
) 
11. 1. ) 2 + 2 < 9 (0; 0) 3;
) | + | ≤ 1 + = - 1 + = 1.
2. ) zx' = 2 + 3 
- 
, z' = 
- 1 + 
; ) zx' = 
, z' = 
. 3. ) 
= 6 + 2 , 
= 2 + 4 4, 
= 4 6 ; ) 
= - 
sin 
,
= - 
sin , 
= - 
sin , 
= - sin + 
cos ,
= - 
sin - 
cos , 
= 
sin - 
cos . 4. (4 )d x + (9 2 )d y.
5. 1,509. 6. 10,25%. 7. - 
. 8. 
. 9. 0
2 + 2 = 5, grad z (M0) = - 2 i 4 j, | grad z (M0) |= 2 
.
12. 1. ) min y = y (- 1) = y (1) = 2, max y = y (- 3) = 66; ) min y = y (0) = y (1) = - 4, max y = y (4) = 0. 2. 1 . 3. 13. 4. ) (- 4; 1) ,
z () = - 1; ) 1(0; 0) , z (1) = 0, 2(1; 0), 3(- 1; 0) -, z (2) = z (3) = 
. 5. min z = z 
= 
, max z = z (0; 1) = 7.
6. (- 1,5; - 1,5) , z () = - 4,75. 7. (90; 60).
13. 1. ) 2 
- 
+ ; ) ln 
+ C; ) 2ctg 2 x + C; ) tg x x + C.
2. ) 
ln | x 2 5| + C; ) 
arctg x 3 + C; ) 2 
+ ; ) 
+ ;
) 
arcsin 
x + C; ) 
arctg 
+ C. 3. ) x cos x + sin x + C; ) x ln x x + C;
) (10 2 12 1) sin 2 x + (5 x 3) cos 2 x + C; ) 
arctg x - 
+ C;
) ctg x + ln |sin x | + C; ) - 
+ ln 
+ C; ) (sin x + cos x) + .
4. ) ln 
+ C; ) + 2,5 ln | 2 6 + 10| + 5 arctg ( 3)+ ;
) ln 
- 
+ arctg x + C; ) ln 
+ arctg x + 
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) 
ln 
+ 
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+ C. 5. ) 
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cos 5 x + C;
) 
- 
sin 4 x + C; ) sin 2 x - 
sin 8 x + C; ) ln 
+ C.
6. ) 
+ 
+ 3 
+ 3 ln | - 1| + C;
) 
arcsin 
+ 
+ C; ) 
+ ; ) 
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+ C.
14. 1. ) 2 
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.
15. 1. ) 1; ) 
; ) ; ) 
.
16. 1. ) 2 ; ) 6π. 2. 
. 3. 
.
17. 1. = ( + 1) . 2. = 
. 3. 
= ln |C x |. 4. ( 2)2 2 = 4.
5. ) = 
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+ arcsin x) 
.
6. ) 3 = cos3 x 3 sin x cos2 x; ) = 
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+ 
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18. 1. ) = - ln |cos x |; ) = 3 + 3 ; ) = 
; ) = 
.
19. 1. ) = 1 + 2 2 ; ) = (1 + 2 ) ; ) = (1cos 3 x + C2sin 3 x) e 2 x;
) = (1 + 2 ) cos x + (C3 + C4 x) sin x. 2. ) = 1cos x + C2sin x + (2 2) ;
) = 1 + 2 + (3 + ) + 3 3 2.
20. 1. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ;
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21. 1. ) 1 < x ≤ 1; ) 5 ≤ x < 3; ) - ∞ < x < +∞; ) = 0; ) 
≤ x ≤ .
22. 1. 
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(- 3 < x < - 1). 2. ) 
(- ∞ < x < +∞);
) 1 + 
(| | < 1); ) 
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(| | < ). .
. 3. arcsin x = + 
. 4. ln 
. 5. sin 1 ≈ 0,8417
0,0002. 6. 0,999848. 7. 3,1416.
|
|
|
.
1. 1. ) ; ) 0. 2. log 3 4. 3. +. 4. D(y) = (0; 2) (3; + 
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= - 
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, sin = - 
. 6. ) 2cosec ; ) 
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2. 1. ) 0,5 + 1,5 i; ) 1; ) 2 i; ) 8; ) 
+ i 
, - 1 + i,
- - i ; ) 1 i, - 1 i. 2. ) 2 i; ) 3 3 i; ) 4 i, - 4 i.
3. 1. ) Ø; ) (- 5; - 4) (0; 5); ) (0; 1) (1; 3). 2. ) (- ∞; 9]; ) [3- 16; + ∞).
3.
 |  | ||
4. 1. ) (2; - 1) a = 2, b = ; )
(2; - 3) , ; )
(- 5; 2) 4; ) (- 5; 1) a = 8, b = 6.
2. 2 + ( 4) 2 = 16. 3. 
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= 1. 4. 
= 1. 5. 2 = 4 .
5. 1. N0 (ε) = 
; 1; 3; 8. 2. δ (ε) = 2ε; 0,2; 0,06. 4. ) 3; ) 4;
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= + π 2- , Z.
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3. 
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8. 1. 
3 5 d x. 2. ) 1,077; ) 1,0349.
9. 1. ) 2; ) 0,5; ) 1; ) ; ) 3; ) 
.
10. 1. = 2 + → + ∞, = 2 - → - ∞. 2.
(- 2; 0), (0; 2). 3. max 
= 0,2. 4.
(- ∞; - 
) (1; + ∞), (- ; 0) (0; 1), = - - , = 0 .
5. ) 
) 
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)
11. 1. 2 + 2 > 4 (0; 0) 2.
2. ' = - 
, y ' = - 
,
z ' = 
. 3. 9,36. 4. 
. 5. grad z (M0) = 0,3 i,
| grad z (M0) |= 0,3.
12. 1. min y = y 
= - 9,75, max y = y (8) = 24. 2. 0,3 ; V = 0,486 3. 3. 
.
4. ) (1; 2) , z () = - 7; ) 
- ,
z () = 
. 5. z min 
= ln (4 - ), z max 
= ln (4 + ).
6. z min (1; 1) = 2. 7. (0; 500).
13. 1. ) 
-3 + 6 - ln | x | + C; ) 5 tg x + 2 ctg x + C; ) 
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) 2 + ln 2 x + ; ) 
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) (sin x cos x) + C; ) 5 + ln 
+ C; ) 3 + 2 + 
arctg 
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) 3 ln 
+ 2 arctg 
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arctg 
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) 
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cos 6 + C; ) 
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sin 
+ 3 sin 
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) 2 arctg 
+ C; ) 
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+ C;
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+ C.
14. 1. ) 33 ; ) ; ) 
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15. 1. ) π; ) .
16. 1. ) 20 
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17. 1. ) ln | x | = C + 
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18. 1. ) = 3 ln x + 2 2 6 + 6; ) = 2; ) 2 2 4 2 = 1.
19. 1. ) = 1 2 + (2cos x + C3sin x); ) = 1 + 2 + 3cos x +
+ C4sin x; ) = 1 + 2 + 3 2 + 3 (4 + 5 ); ) = 1 + 2 + 3 2 + 4 2 ;
) = (1 + 2 ) 2 + 
2 ;
) = 1cos x + C2sin x + C3cos 2 x + C4sin 2 x 
x cos x.
20. 1. ) ; ) ; ) ; ) ;
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21. 1. ) 1 ≤ < 1; ) 2 ≤ < 3; ) 
≤ ≤ .
22. 1. cos = 
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) 
(| | < 1). 3. arctg x = 
2 + 1. 4. 
(| | < 1).
5. 1 + 
ln (1 ) (| | < 1). 6. ) 0,607; ) 0,158.
|
|
|
