Рабочая программа модуля
Математический анализ
Направление подготовки (специальность)
080100.62 «Экономика»
Профиль подготовки (специализация)
Финансы и кредит
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Нижний Новгород
2011 г.
Цели освоения дисциплины.
- устойчивое осознание понятия функциональной зависимости;
- ознакомление с фундаментальными понятиями и методами дифференциального и интегрального исчислений;
- освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
- развитие четкого логического мышления.
Место дисциплины в структуре ООП.
Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин.
Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций.
Дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Макроэкономика, Микроэкономика, Теория отраслевых рынков, Экономика общественного сектора, Институционная экономика, Теория вероятностей, Эконометрика, Математическая статистика, Методы оптимальных решений.
Требования к результатам освоения дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: Обладание культурой мышления, способность к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК–1);
Способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и
письменную речь (ОК-6);
Способность на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);
Способность выполнять необходимые для составления экономических разделов плановые расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, умение проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные определения и понятия изучаемых разделов математического анализа.
Уметь: использовать математические методы в экономических приложениях.
Владеть: методами математического анализа.
4. Структура и содержание модуля.
Содержание дисциплины.
| № | Лекции.Наименование тем. | Кол-во часов |
| 1 2 4 7 8 | 1 семестр. Раздел 1. Функции.Классификация числовых множеств. Комплексные числа. Функции. Кривые 2-го порядка. Раздел 2. Пределы. Последовательности и их пределы. Предел функции. Непрерывность функции. Раздел 3. Производная.Производная функции. Раздел 4. Приложения производной. Дифференциал. Вычисление пределов с помощью производной. Геометрический смысл производной. Исследование функций и построение их графиков. Раздел 5. Функции нескольких переменных.Функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Контрольная работа №1 Итого 2 семестр. Экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум. Раздел 6. Интеграл.Неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла. Раздел 7. Дифференциальные уравнения.Обыкновенные дифференциальные уравнения и основные понятия. Уравнения 1-го порядка. Уравнения высших порядков. Раздел 8. Ряды.Числовые ряды. Степенные ряды. Контрольная работа №2 Итого | 2 6 2 3 2 36 4 2 36 |
| № | Практические занятия.Наименование тем. | Кол-во часов |
| 8 9 10 | 1 семестр Трансцендентное исчисление. Комплексные числа. Функции и их графики. Кривые 2-го порядка. Пределы. Непрерывность функции. Производная функции. Дифференциал. Вычисление пределов с помощью производной. Исследование функций. Функции многих переменных. Контрольная работа № 1 Итого 2 семестр Экстремальные задачи Неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Числовые ряды. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Контрольная работа № 2 Итого | 4 2 36 |
Функции.
Классификация множеств чисел: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Счётные и несчётные множества. Запись рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей. Модуль числа; геометрический смысл модуля. Комплексные числа в алгебраической форме и арифметические действия над ними. Геометрический смысл комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Окрестность точки. Функция и способы её задания. Область определения и множество значений функции. Основные свойства функций: чётность и нечётность, монотонность, ограниченность, периодичность. Явные и неявные функции. Обратная функция. Теорема об обратной функции. Свойство графиков обратных функций. Сложная функция. Классификация элементарных функций. Графики элементарных функций. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. График дробно-линейной функции. Парабола. Преобразование графиков.
Пределы.
Числовая последовательность; способы задания последовательности: явный, рекуррентный. Монотонность последовательности. Предел числовой последовательнос-ти. Геометрический смысл предела последовательности. Предел функции в бесконеч-ности и его геометрический смысл. Предел функции в точке и его геометрический смысл. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины. Связь бесконечно малых
с пределами функций. Свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины и их свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Арифметические действия над пределами. Первый замечательный предел и его следствия. Второй замечательный предел и его следствия. Число е. Задача о непрерывном начислении процентов. Бесконечно малые величины и порядок их малости. Сравнение бесконечно малых. Главная часть бесконечно малой величины. Эквивалентные бесконечно малые. Основные эквивалентности. Вычисление пределов
с помощью основных эквивалентностей. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Арифметические свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
3. Производная.
Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости движения, задача о производительности труда. Определение производной функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке. Механический смысл производной. Экономический смысл производной. Теорема о зависимости между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
4. Приложения производной.
Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Правила Лопиталя. Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Теорема Ферма и её геометрический смысл. Признаки монотонности функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость вверх и выпуклость вниз кривой. Признаки выпуклости кривой. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема
исследования функций и построения их графиков.
5. Функции нескольких переменных.
Функция п переменных. График функции двух переменных. Линии уровня функции 2-х переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Схема исследования функции двух переменных на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум. Метод исключения части переменных.
6. Интеграл.
Первообразная функция. Общий вид первообразных. Неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования. Интегралы от основных элементарных функций. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональностей. «Неберущиеся» интегралы. Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла: задача о площади криволинейной трапеции. Экономический смысл интеграла. Достаточное условие существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Геометрические приложения определённого интеграла: площадь криволинейной трапеции; объём тела вращения.
7. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и основные понятия: решение, интеграл, общее решение, общий интеграл, интегральная кривая. Составление дифференциальных уравнений по семейству кривых. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа интегрирования линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
8. Ряды.
Числовой ряд. Сходимость и расходимость числовых рядов. Свойства сходящих-ся рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признак сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак Коши-Маклорена.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Основные разложения в ряд Маклорена элементарных функций. Почленное дифференцирование и почленное интегрирование степенных рядов. Разложение функций в ряд с помощью основных разложений. Применение рядов в приближённых вычислениях.
Образовательные технологии.
Мастер-класс автора программы по широкому употреблению устного счёта взамен калькуляторов при проведении громоздких расчётов.
