,
откуда 
. Выберем в качестве решения последнего уравнения 
, тогда 
, и общий интеграл исходного уравнения имеет вид 
.
Задания для самостоятельного решения.
3.26. 
.
3.27. 
.
3.28. 
. 3.29. 
.
3.30. 
. 3.31. 
.
Ответы
3.26. 
. 3.27. 
. 3.28. 
.
3.29. 
. 3.30. 
. 3.31. 
3.3.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
Дифференциальное уравнение 
го порядка имеет следующий общий вид
.
Его общее решение 
содержит две произвольные постоянные 
и 
.
Рассмотрим несколько типов уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.
I. Простейший частный случай уравнения 2-го порядка записывается так: 
. Искомая функция здесь находится последовательным двукратным интегрированием.
3.8). 
. Запишем это уравнение в виде 
. Умножая обе его части на 
, имеем 
. И после интегрирования 
, получаем 
, где - произвольная постоянная. После умножения обеих частей последнего равенства на и интегрирования получаем общее решения данного уравнения 
. Здесь - вторая произвольная постоянная.
II. Уравнение не содержит искомой функции: 
. Порядок такого уравнения может быть понижен заменой, введением новой искомой функции 
.
3.9). Найти общее решение уравнения: 
.
Решение. Обозначим 
. Тогда 
, и данное уравнение теперь выглядит так:
,
т.е. благодаря используемой здесь замене удалось исходное уравнение второго порядка преобразовать к дифференциальному уравнению первого порядка, добиться понижения порядка исходного уравнения. Разделяя переменные и интегрируя, из последнего равенства получаем: 
, т.е. 
, а, значит, 
. Разделение переменных и интегрирование последнего равенства дает общее решение исходного уравнения: 
.
III. Уравнение не содержит независимой переменной 
: 
. Рассматривая 
здесь как независимую переменную, можем на единицу понизить порядок уравнения введением в него новой искомой функции 
. При этом 
.
3.10). Решить уравнение: 
.
Решение. Пользуясь только что указанной подстановкой, понизим порядок данного уравнения: 
, или 
. Отсюда получаем два уравнения:
, 
.
Первое из них дает 
, т.е. 
. Второе уравнение решается разделением переменных, откуда 
. Но, так как 
, то, разделяя переменные, получаем 
, т.е. 
, или 
. Отметим, что найденное ранее решение содержится в предыдущей функции при 
.
Задания для самостоятельного решения.
3.32. 
. 3.33. 
. 3.34. 
3.35. 
.
3.36. 
. 3.37. 
. 3.38. 
.
3.39. 
. 3.40. 
. 3.41. 
. 3.42. 
3.43. 
. 3.44. 
.
Ответы
3.32. 
. 3.33. 
. 3.34. 
.
3.35. 
. 3.36. 
, 
. 3.37. 
.
3.38. 
. 3.39. 
.
3.40. 
. 3.41. 
. 3.42. 
.
3.43. 
. 3.44. 
.
3.4.Линейные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных, оно имеет следующий общий вид:
(3.22)
Если заданные коэффициенты 
и правая часть 
- функции, непрерывные на некотором интервале 
, то уравнение (3.22) имеет единственное решение 
, определенное на интервале и удовлетворяющее начальным условиям
, (3.23)
где 
, а 
- любые действительные числа.
Уравнение (3.22), в котором 
тождественно на , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ), а уравнение
(3.24)
- линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).
Общее решение уравнения (3.24) имеет вид
, (3.25)
где 
- произвольные постоянные, а 
- 
линейно независимых частных решений уравнения (3.24), составляющих так называемую фундаментальную систему решений ЛОДУ.
Критерием (т.е. необходимым и достаточным условием) линейной независимости частных решений уравнения (3.24) является условие необращения в ноль на интервале определителя Вронского для этих функций:
(3.26)
Общее решение ЛНДУ (3.22) имеет следующий вид:
. (3.27)
Здесь 
- общее решение ЛОДУ (3.24), соответствующего данному ЛНДУ (3.22), а 
- некоторое частное решение ЛНДУ (3.22). Представление (3.27) вместе с формулой (3.25) описывает структуру общего решения ЛНДУ.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит так:
. (3.28)
Здесь коэффициенты 
и 
- некоторые действительные числа.
Определим значение параметра 
так, чтобы функция 
удовлетворяла равенству (3.28), т.е. являлась решением этого уравнения. Для этого подставим эту функцию и ее производные 
, 
в равенство (3.28). Получим 
, откуда выводим равенство
, (3.29)
называемое характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (3.28). Уравнение (3.29) является квадратным уравнением и имеет 2 корня (действительных различных, действительных равных, или 2 комплексно - сопряженных). Каждому корню 
этого уравнения соответствует отдельное частное решение 
, 
В совокупности этот набор решений составляет фундаментальную систему решений уравнения (3.28), с помощью которой по формуле (3.25) можно записать общее решение этого уравнения.
Таким образом, алгеброй определяется характер решений линейных дифференциальных уравнений, а, значит, и те физические, химические, и.т.д. процессы, которые ими описываются.
Возможные при решении уравнения (3.28) случаи представлены в следующей таблице.
Таблица 2.
| № | Корни характеристического уравнения
| Фундаментальная система решений диффер. уравнения (3.29) | Вид общего решения уравнения
|
 и  - действительные различные числа
|  , 
| 
| |
 - двукратный корень
| , 
| 
| |
 - комплексно сопряженные корни
|  ,
|
|
3.11). Решить уравнение 
.
Решение. Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному, имеет вид 
. Корни 
этого уравнения действительны и различны. Им отвечают два частных решения 
, с помощью которых записываем общее решение данного уравнения 
.
3.12). Решить уравнение 
.
Решение. Характеристическое уравнение для данного дифференциального имеет вид: 
, или 
. Т.е. его корни 
. В соответствии со случаем 2 Таблицы 2 частными решениями данного дифференциального уравнения, составляющими его фундаментальную систему решений, являются функции 
, а его общее решение имеет вид 
.
3.13). Решить уравнение 
.
Решение. Характеристическое уравнение для данного дифференциального выглядит так: 
. Оно имеет пару комплексно - сопряженных корней 
. Здесь 
. Соответствующие частные решения 
составляют фундаментальную систему решений данного дифференциального уравнения, а его общее решение записывается так: 
.
Задания для самостоятельного решения
3.45. 
. 3.46. 
. 3.47. 
. 3.48. 
.
3.49. 
. 3.50. 
. 3.51. 
. 3.52. 
.
Ответы
3.45. 
.3.46. 
. 3.47. 
. 3.48. 
.
3.49. 
. 3.50. 
.. 3.51. 
. 3.52. 
.
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
В том случае, когда в ЛНДУ второго порядка, т.е. в уравнении (22) при 
, коэффициенты в левой его части являются постоянными, оно имеет вид
(3.30)
Следуя формуле (3.27), сначала (с помощью характеристического уравнения) необходимо решить соответствующее ему ЛОДУ: . Второе слагаемое в формуле (3.27), некоторое частное решение уравнения (3.30), может быть записано в виде функции того же типа, что и правая часть - , если она имеет специальный вид, приведенный в следующей таблице.
Таблица 3.
| № | - правая часть ЛНДУ (30)
| Корни характеристического уравнения (3.29) | Вид частного решения
|
| I | 
| 1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения | 
|
2. Число 0 -корень характеристического уравнения кратности 
| 
| ||
| II | 
| 1. Число  не является корнем характеристического уравнения
| 
|
| 2.Число -корень характеристического уравнения кратности
| 
| ||
| III | 
| 1. Числа  не являются корнями характеристического уравнения
|  ,
|
| 2. Числа являются корнями характеристического уравнения
|  ,
| ||
| IV | 
| 1. Числа  не являются корнями
|  ,
|
2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности 
|  ,
|
Указанные в этой таблице , 
, 
, 
, 
- многочлены с неопределенными коэффициентами.
3.14). Решить уравнение 
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному имеет вид:
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
, которым соответствуют частные решения 
, 
. По формуле (25) 
. Второе слагаемое в формуле (3.27), т.е. некоторое частное решение данного ЛНДУ, в соответствии с приведенной выше Таблицей 3, раздел I(1), является функцией подобной правой части 
. А, так как среди корней характеристического уравнения нет числа 
, то
, (3.31)
где 
и 
- неопределенные пока коэффициенты. Найдем эти числа, подставляя функцию (3.31) в исходное уравнение, которому она должна удовлетворять. Так как 
, то получим равенство 
, или
