Если в уравнении (3.2) функция 
и ее частная производная 
непрерывны в некоторой области D на плоскости 
, содержащей некоторую точку 
, то существует единственное решение 
этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (3.4).
Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения (общего интеграла) ни при каких числовых значениях произвольной постоянной.
Например, одним из решений уравнения 
является функция 
- одно из его частных решений. Формула 
, где С – произвольное действительное число, дает множество всех решений этого уравнения, т.е. является его общим решением. Функция 
и ее частная производная 
определены и непрерывны во всей плоскости . Потому через каждую точку этой плоскости проходит единственная интегральная кривая – частное решение данного дифференциального уравнения. Например, Задача Коши:
имеет единственное решение 
, найденное из общего решения данного дифференциального уравнения при подстановке в него начальных значений: 
, 
, что позволяет определить конкретное значение произвольной постоянной 
.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если в уравнении (2) его правая часть имеет вид 
, то в этом случае оно называется уравнением с разделяющимися переменными и решается методом “разделения” переменных.
В частности, если уравнение (2) имеет вид 
, т.е. 
, то в результате интегрирования обеих частей этого уравнения его общее решение дается формулой 
, где С – произвольная постоянная.
3.1). Пусть 
- количество радиоактивного вещества - радия еще не распавшегося к моменту времени t. Установлено, что скорость радиоактивного распада 
пропорциональна количеству вещества с коэффициентом пропорциональности k. При условии, что в начальный момент времени 
масса радия была 
, выяснить период его полураспада – промежуток времени, за который распадается половина его первоначальной массы.
Решение. Поиск ответа на поставленный в этом Примере вопрос сводится к решению Задачи Коши:
(3.5) – (3.6)
Знак минус в правой части уравнения (3.5) обусловлен убыванием функции x(t) c течением времени. Уравнение (3.5) является уравнением с разделяющимися переменными. Умножая обе его части на 
, получаем уравнение с разделенными переменными 
. Интегрируя обе части которого получаем 
, или 
. Т.е. общее решение уравнения (3.5) имеет вид 
. Постоянную С (С> 0) определим так, чтобы было выполнено начальное условие (6): 
, т.е. 
.
Таким образом, функция 
является решением задачи (3.5) – (3.6).
Единица измерения времени – год. Период полураспада 
находим, решая уравнение 
. Итак, 
. В частности, так как для радия 
, то 
лет. 
3.2). Решить Задачу Коши:
(3.7)-(3.8)
Решение. Функция 
определена и непрерывна в области
. Производная 
не определена в точках оси 
, поэтому в любой окрестности точки (1,0) не выполняются условия Теоремы о существовании и единственности решения Задачи Коши. Действительно, с одной стороны, разделяя переменные в уравнении (7) получим 
и, проинтегрировав обе части последнего равенства, находим общее решение в виде 
. Геометрически – это множество правых ветвей парабол 
(т.к. 
) с вершинами в точках (-С,0). С другой стороны, исключаемая при разделении переменных в уравнении (3.7) функция 
, является очевидным решением этого уравнения, которое должно быть названо особым. Ни при каких значениях произвольной постоянной С оно не может быть получено из формулы общего решения. Таким образом, через точку (1,0) проходят по крайней мере две интегральные кривые: и 
. Кроме того, интегральными кривыми являются также линии АОBD, 
при любых 
и 
, 
и 
, …. Итак, поставленная задача Коши (3.7) – (3.8) имеет бесконечное множество решений.
Рис2.1
Задания для самостоятельного решения
Найти общие решения дифференциальных уравнений
3.1. 
. 3.2. 
. 3.3. 
.
Найти решение задачи Коши.
3.4. 
3.5. 
.
3.6. 
Найти общее и особые решения уравнения.
3.7. 
Ответы.
3.1. 
. 3.2. 
. 3.3 
.
3.4. 
. 3.5. 
. 3.6. 
.
3.7. 
.
Однородные дифференциальные уравнения
Функция 
называется однородной порядка однородности 
, если для любого числа 
(такого, что 
) выполняется условие: 
. Например, 
- однородная функция третьего порядка однородности.
Уравнение (3) называется однородным дифференциальным уравнением, если коэффициенты 
и 
являются однородными функциями одинакового порядка однородности. Уравнение в виде (2) также может быть названо однородным, если - однородная функция нулевого порядка однородности (
).
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными введением новой искомой функции
. (3.9)
3.3). Найти общее решение уравнения
. (3.10)
Решение. Функции 
и 
— однородные функции второго порядка однородности, поэтому данное уравнение является однородным. Используя замену (3.9), из которой 
, а 
, записываем данное уравнение в виде
.
Разделяя переменные, получим 
. Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что 
, находим 
, откуда имеем 
. Возвращаясь к исходной функции 
, получаем общий интеграл уравнения (3.10) в виде 
. Интегральные кривые уравнения (3.10) представляют собой семейство окружностей с центрами на оси 
, проходящих через начало координат.
Задания для самостоятельного решения
3.8. 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
3.13. 
. 3.14. 
.
Ответы.
3.8. 
. 3.9. 
. 3.10. 
. 3.11. 
.
3.12. 
. 3.13. 
. 3.14. 
.
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее первой производной:
. (3.11)
Здесь 
и 
— заданные непрерывные функции. Уравнение (3.11), в котором 
, называется линейным неоднородным, а уравнение
(3.12)
называется линейным однородным, соответствующим данному неоднородному уравнению (3.11).
Первый способ решения линейного неоднородного уравнения – метод подстановки. Он заключается в том, чтобы искать функцию 
в виде произведения двух функций
. (3.13)
3.4). Решить уравнение
. (3.14)
Решение. Это уравнение является линейным, поэтому его решение ищем с помощью подстановки (13), из которой находим 
. В результате уравнение (3.14) приобретает вид 
, или
. (3.15)
Для упрощения последнего равенства сомножитель 
будем искать таким, чтобы 
(равенство нулю множителя при функции 
в уравнении (3.15)). Заметим, что это последнее условие является однородным уравнением, соответствующим линейному неоднородному уравнению (3.14). Кроме того, как и любое уравнение вида (3.12), оно является уравнением с разделяющимися переменными: 
, 
, 
, 
. Найденная функция является частным решением уравнения. В данном случае достаточно иметь хотя бы одну функцию 
, обращающую в ноль выражение в круглой скобке в уравнении (3.15). Далее, подставляя найденный сомножитель в уравнение (3.15), получаем 
, отсюда 
, 
, 
. Заметим, что при определении второго сомножителя константа интегрирования обязательно учитывается. И, наконец, по формуле (3.13) записываем общее решение уравнения (3.14): 
.
Второй способ решения линейного неоднородного уравнения называется методом вариации произвольной постоянной. Он заключается в том, что вначале решается однородное уравнение (3.12), которое, как мы отметили, является уравнением с разделяющимися переменными. Легко получить его общее решение: 
, 
, 
. Далее, решение уравнения (3.11) ищем, полагая 
некоторой функцией переменной 
: 
. Таким образом, при решении неоднородного уравнения (3.11) мы варьируем, меняем постоянную, входящую в общее решение уравнения (3.12).
3.5). Решить уравнение
. (3.16)
Решение. Разделяя переменные в линейном однородном уравнении 
, соответствующем данному уравнению (3.16), получим: 
, 
, 
. Общее решение уравнения (3.16) будем искать в виде
, (3.17)
где 
— неизвестная функция, для определения которой подставим в виде (3.17) в уравнение (3.16): 
, т. е. 
и 
. Подставив найденную таким образом функцию в (3.17), получим общее решение уравнения (3.16): 
.
Уравнение 
, где и — заданные непрерывные функции, а показатель степени 
отличен от нуля (при 
получаем рассмотренное выше линейное неоднородное уравнение) и от единицы (при 
приводя подобные слагаемые и получаем линейное однородное уравнение), называется уравнением Бернулли. Оно решается теми же способами, что и линейное неоднородное уравнение.
3.6). Решить уравнение
. (3.18)
Решение. Разделив обе части этого уравнения на 
, убеждаемся, что это — уравнение Бернулли: 
. Здесь 
. Воспользуемся подстановкой (3.13):
. (3.19)
Вспомогательную функцию находим из условия 
. Разделив в этом уравнении переменные, получим 
, 
, откуда имеем частное решение 
, подставляя которое в (3.19), получаем уравнение для нахождения функции : 
. Проинтегрировав последнее равенство, найдем 
, или 
. Следовательно, общее решение уравнения (3.18) имеет вид 
.
Задания для самостоятельного решения.
3.15. 
. 3.16. 
. 3.17. 
.
3.18. 
. 3.19. 
. 3.20. 
.
3.21. 
. 3.22. 
. 3.23. 
.
3.24. 
. 3.25. 
..
Ответы.
3.15. 
. 3.16. 
. 3.17. 
. 3.18. 
.
3.19. 
. 3.20. 
. 3.21. 
. 3.22. 
.
3.23. 
. 3.24. 
. 3.25. 
.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальное уравнение (3.3), называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является дифференциалом первого порядка некоторой функции двух переменных 
, т. е. 
. Для того, чтобы уравнение (3.3) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия для коэффициентов 
и 
:
, (3.20)
тогда уравнение (3.3) принимает вид 
, и его общий интеграл легко записывается в виде: 
, где 
— произвольная постоянная.
3.7). Решить уравнение 
.
Решение. Условие (3.20) выполнено, т.к. 
и 
. Значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, надо найти функцию такую, что 
, т.е.
(3.21)
Проинтегрируем первое уравнение системы (3.21): 
. Здесь мы учли, что при интегрировании по 
переменная рассматривается как константа. По этой же причине постоянная интегрирования записана как некая произвольная функция 
. Определим эту функцию, воспользовавшись вторым уравнением системы (3.21):
