Интегралы вида 
рационализируются универсальной тригонометрической подстановкой: 
. При этомиспользуются формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного аргумента
.
Кроме того, при замене переменной в этом интеграле учитываем, что 
.
Рационализация с помощью универсальной подстановки иногда приводит к громоздким подынтегральным функциям. В некоторых частных случаях эффективнее использовать подстановки 
или 
.
1.19). 
. В этом примере использована универсальная подстановка.
1.20). 
. Здесь удобно выполнить замену . И, так как 
, то
.
В интегралах вида 
, если 
и 
- четные положительные числа, используются формулы понижения степени: 
. Если же или - нечетное число, интеграл находят, отделяя от нечетной степени один множитель.
1.21). 
= 
. Здесь 
.
1.22). 
. Обозначив 
, получим
. Здесь 
.
Интегралы вида 
находятся с помощью тригонометрических формул: 
,
, 
.
1.23). 
.
Задания для самостоятельного решения
1.29. 
. 1.36. 
. 1.43. 
.
1.30. 
. 1.37. 
. 1.44. 
.
1.31. 
. 1.38. 
. 1.45. 
.
1.32. 
. 1.39. 
. 1.46. 
.
1.33. 
. 1.40. 
. 1.47. 
1.34. 
1.41. 
. 1.48. 
.
1.35. 
. 1.42. 
. 1.49. 
.
Ответы.
1.29. 
1.36. 
. 1.43. 
.
.
1.30. 
. 1.37. 
. 1.44. 
.
1.31. 
. 1.38. 
. 1.45. 
.
1.32. 
.1.39. 
1.46. 
.
1.33. 
. 1.40. 
. 1.47. 
1.34. 
. 1.41. 
. 1.48. 
.
1.35. 
. 1.42. 
. 1.49. 
.
1.2.Определенный интеграл.
Функция 
определена и ограничена на отрезке 
. Произвольно выбранными точками
разобьем этот отрезок на элементарных отрезков 
, 
, длина каждого из которых равна 
. В каждом из этих элементарных отрезков произвольно выберем точку 
, 
. Сумма вида
называется -ой интегральной суммой функции 
на отрезке . Если 
на , то 
- площадь ступенчатой фигуры. Обозначим 
.
Конечный предел последовательности интегральных сумм при 
и 
называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
.
Предел в этом определении не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и выбора в каждом из них промежуточных точек . Здесь 
- переменная интегрирования, - подынтегральная функция, 
- подынтегральное выражение, - отрезок интегрирования, 
и 
- нижний и верхний пределы интегрирования. Если определенный интеграл существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке . В частности, непрерывность подынтегральной функции на отрезке обеспечивает ее интегрируемость на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Если на , то 
- это площадь криволинейной трапеции – плоской фигуры, ограниченной графиком функции , осью 
и двумя прямыми 
.
Теорема. Если функция определена и непрерывна на всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1. 
(
). 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
6. Если, 
, то 
.
7. Если 
, то 
. 8. 
.
9. Если 
, где 
, то
.
10. Если непрерывна на 
, то существует точка 
, такая, что
.