В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´ B) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других.В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´ K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, k), обладающих свойством: студент s слушает курс k. Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.
Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.
Определение 1. Бинарным (или двухместным) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´ B, т.е.
.
В частности, если A=B (то естьrÍ A 2), то говорят, чтоrесть отношение на множестве A.
Элементы a и b называются компонентами (или координатами) отношения r.
Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит: r, t, j, s, w и т.д.
Определение 2. Областью определения бинарного отношения r называется множество D r={ a | $ b, что a r b } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={ b | $ a, что a r b } (правая часть).
Пример 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x; y)Î A ´ B | x+y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.
,
Пример 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x; y) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.
,
Пример 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x; y)Î A ´ B | y – цена x } – отношение множеств A и B.
,
Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x; y)Î A ´ B | x+y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.
Способы задания отношений:
1) с помощью подходящего предиката;
2) множество упорядоченных пар;
3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом, точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа.
4) в виде матрицы: пусть A ={ a 1, a 2, …, an } и B ={ b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´ B. Матричным представлением r называется матрица M =[ mij ] размера n ´ m, определенная соотношениями
.
Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.
Пример 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x; y) | x+y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.
Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;
2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.
3) в матричном представлении это отношение имеет вид
.,
Введем обобщенное понятие отношения.
Определение 3. n-местное (n - арное) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)
rÍ A 1´…´ An ={(a 1, …, an)| a 1Î A 1Ù … Ù an Î An }
Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных. Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.
Слово «реляционная» происходит от латинского слова relation, которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).
Далее мы будем рассматривать только двухместные (бинарные) отношения, при этом опуская слово «бинарные».
Определение 4. ПустьrÍ A ´ B есть отношение на A ´ B. Тогда отношениеr-1называется обратным отношением к данному отношению r на A ´ B, котороеопределяется следующим образом:
r-1={(b, a) | (a, b)Îr}.
Определение 5. Пустьr Í A ´ B есть отношение на A ´ B, аs Í B ´ C – отношение на B ´ C. Композицией отношений sиrназывается отношениеt Í A ´ C,которое определяется следующим образом:
t=s◦r= {(a, c)| $ b Î B, что (a, b)Îr и (b, c)Îs}.
Пример 5. Пусть 
, 
и C ={,,!, d, à}. И пусть отношение r на A ´ B и отношение s на B ´ C заданы в виде:
r={(1, x), (1, y), (3, x)};
s={(x,,), (x,!), (y, d), (y, à)}.
Найти r-1 и s◦r, r◦s.
Решение. 1) По определению r-1={(x, 1), (y, 1), (x, 3)};
2) Используя определение композиции двух отношений, получаем
s◦r={(1,,), (1,!), (1, d), (1, à), (3,,), (3,!)},
поскольку из (1, x)Îr и (x,,)Îs следует (1,,)Îs◦r;
из (1, x)Îr и (x,!)Îs следует (1,!)Îs◦r;
из (1, y)Îr и (y, d)Îs следует (1, d)Îs◦r;
…
из (3, x)Îr и (x,!)Îs следует (3,!)Îs◦r.
3) r◦s=Æ.
,
Теорема 1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
- ассоциативность композиции.
Доказательство. Свойство 1 очевидно.
Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a; b) Î (s◦r)-1 Û (b; a) Î s◦r Û $ c такое, что (b; c) Î r и (c; a) Î s Û $ c такое, что (c; b) Î r-1 и (a; c) Î s-1 Û (a; b) Î r -1◦s -1.
