Занятие 1. Операции над множествами

Множество — одно из основных поня­тий современной математики, с которым каждый человек знаком со школьной скамьи. «Множество решений уравнения или нера­венства», «множество точек на плоскости», «множество действи­тельных чисел» и т.д. — привычные словосочетания, не требую­щие дополнительных рассуждений и определений.

Понятия множество, элементы множества — первичные базис­ные неопределяемые понятая, на которых строится теория множеств.

Совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством, составляет понятие множество. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов в группе, множество натуральных чисел N и т.д.

Запись а М означает: элемент а принадлежит множеству М, т. е. элемент а обладает некоторым признаком. Аналогично a М читаем как: элемент а не принадлежит множеству М. Множество считается заданным, если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Первый вариант будем записывать так: М = {m₁, т₂, т_к), например,

М= {0, 1}.

Последний вариант будем записывать так: М= {b|Р(b)}. Такая запись читается как: М состоит из тех (всех) элементов b, которые обладают признаком Р. Например, М = {n| n N, п < 5} означает: М составляют только те натуральные числа, что меньше пяти. Само свойство P будем называть характеристическим.

В каче­стве характеристического свойства может выступать указанная для этого свойства порождающая процедура, которая описывает спо­соб получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. Например, множество = {1, 2, 4, 8, 16, 32,...} всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 = { | i Z, 0}), можно задать с помощью порождающей функции по индуктивным правилам:

· 1

· если к то (2 к) .

Итак, запись М = {х| Р(х)} означает: множество М состоит из всех элементов х, обладающих признаком Р.

Например, запись М ={х | x³ + Зх² + 2x = 0} означает, что множество М содержит только корни данного уравнения, т.е. числа {0; -1; -2}.

Из данных множеств А и В можно построить новые множества с помощью операций объеди­нения, пересечения, вычитания и др.

Понятие множества появилось в математике сравни­тельно недавно, в конце 19-го века, в связи с работами Кантора (сравнение мощностей множеств). Некото­рое время назад этот язык пытались внедрить в школь­ное преподавание, объясняя ученикам, что у уравнения х²+1 = 0 есть множество решений (впрочем, пустое), что множество решений системы уравнений есть пересечение множеств решений каждого из них (а для «совокупности» уравнений — объединение), что в множестве {2,2,3} не три элемента, а два, и оно равно множеству {2,3}, что , { } и { ,{ }} — это три совершенно разных мно­жества и т. д. Но всё равно большинство школьников так и не поняло, почему множество решений уравнения x² = 4 можно записывать как {—2,2}, а множество решений уравнения x² = - 4 нельзя записывать как { } (а надо пи­сать ).