Занятие 1. Определения счетных и несчетных множеств. Определение мощности множеств. Эквивалентность множеств. Теорема Кантора о множестве подмножеств. Теоремы о мощности множеств

Понятие мощности множеств введено основателем теории множеств

Г. Кантором (1878), который установил, что мощность множества действительных чисел с больше À₀, и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности.

Универсальным называют множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком. Например, множество планет Солнечной системы U = {Земля, Марс, Венера, Юпитер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурий, Нептун}. Заметим, что понятие универсального множества четко не определено, т. е. некорректно. U можно включить в другое множество W, ионо тоже будет универсальным. Например, долго считалось, что множество действительных чисел М универсально (т. е. описывает всю математику), пока не открыли поле комплексных чисел С и надкомплексные числа и не поняли, что не существует универсального числового множества. Тем не менее там, где область объектов не выходит за рамки некоего множества, иногда бывает удобно оперировать с этим термином. Ведь ржаное поле — вселенная для мыши.

Равными называют два множества А и В, состоящие из одинаковых элементов: А = В. Например, равны множества решений уравнений 4х- 8 = 16, х/15 = 2/5 и 5^Х-3 = 125, так как их решением является одно и то же число 6.

Равны множества букв, из которых составлены слова «навес» и «весна». Равны множества корней уравнения х² = 1 и множество М = {(-1)^k, k = 0, 1, 2,...}. Поэтому задача «решить уравнение», знакомая с детства, в реальности означает «решить уравнение в каком-то множестве». Так, уравнение х² + 1 = 0 не имеет действительных корней: {х| х² + 1 = 0, х М} = 0, но имеет два комплексных корня х = i, х = - i: {х|х² + 1 = 0, х С} = { i, -i }.

Равенство двух множеств А и В означает также, что А В и В А. И наоборот, выполнение свойств A В и В А означает выполнение равенства А = В. Эти утверждения равносильны.

Число элементов множества А называется мощностью множества и обозначается | А| или п(А). Так, мощность пустого множества равна 0: n() = 0, а мощность множества планет Солнечной системы n(U) = 9 или |U| = 9.