Информационных технологиях и практической деятельности

Вводное занятие.

Логика в науке, технике, экономике,

информационных технологиях и практической деятельности

При изучении нового курса прежде всего возникают вопросы: что предстоит изучить в этом курсе, как и зачем это нужно изучать?

Сначала выясним, что изучает математическая логика. Предмет изучения математической логики весьма необычен – это математические рассуждения, доказательства и теории.

Второй вопрос: как, каким образом осуществляется изучение математических рассуждений? Поскольку математическая логика – это область математики, то она пользуется математическими средствами и методами.

Слово «логика» и производные от него часто можно встретить на страницах всевозможных печатных изда­ний и услышать в разговорной речи. Каков же смысл этого слова? Заглянем в толковый словарь С. И. Оже­гова. Там сказано: «Логика — наука о законах мышле­ния и его формах» и еще: «Логика — ход рассуждений, умозаключений». Слово «логика» происходит от гречес­кого «логос», что, с одной стороны, означает «слово» или «речь», а с другой — то, что выражается в речи, т. е. мышление. Логика изучает лишь те акты мышления, ко­торые фиксированы в языке в виде слов, предложений и их совокупностей. Таким образом, логика имеет непо­средственное отношение к языку, речи. Поэтому логика соприкасается с грамматикой и, более широко, с линг­вистикой (наукой о языке). С помощью логических средств наш естественный язык уточняется, приобретает четкость и определенность.

Логика как наука сформировалась очень давно — в IV в. до н.э. Ее создал древнегреческий ученый Аристо­тель. В течение многих веков логика почти совсем не развивалась. Это, конечно, свидетельствует о гениально­сти Аристотеля, которому удалось создать столь полную научную систему, что, казалось, «не убавить, не приба­вить». Однако в силу такой неизменности логика приоб­рела славу мертвой, застывшей науки и вызывала у мно­гих скептическое к себе отношение. Сухость и видимую бесплодность логики высмеивали Рабле, Свифт и др.

В XVII в. великий немецкий ученый Лейбниц заду­мал создать новую логику, которая была бы «искусст­вом исчисления». В этой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соответствовал бы символ, а рассуж­дения имели бы вид вычислений. Эта идея Лейбница, не встретив понимания современников, не получила распро­странения и развития.

Впервые идеи Лейбница реализовал Д. Буль в 40-х гг. девятнадцатого столетия. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к появлению алгебры высказываний. Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных че­ловеческому мышлению из-за особенностей человеческой психики. Современная математическая логика определяется как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики. Одна из главных причин широкого распространения математи­ческой логики— применение аксиоматического метода в построении раз­личных математических теорий. В нем сначала выбираются некоторые поня­тия, которые не определяются, а лишь поясняются. Затем без доказательства принимается некоторый набор аксиом, а уже потом из этих аксиом логически строго выводятся и доказываются все оставшиеся положения теории.

Самым ранним примером аксиоматической теории являются "Начала" Евклида. Однако система аксиом, положенная Евклидом в основу теории, не является единственной и содержит небесспорный пятый постулат (аксиому о параллельных прямых). Это не означает, что построенная затем теория (классическая геометрия) была неверной, но указывает на возможность построения иных геометрий (геометрии Лобачевского, например).

Отличительная черта математической логики — использование доказа­тельств, а не наблюдений. Однако ясно, что невозможно доказать все мате­матические законы, т. к. самые первые из них не могут быть доказаны: нет более ранних законов, из которых они могут быть выведены. Поэтому необ­ходимо выбрать некоторые начальные законы, называемые аксиомами, кото­рые принимаются без доказательств, остальные законы — теоремы — могут быть доказаны исходя из аксиом,

К системе аксиом предъявляется одно непременное требование — она долж­на быть непротиворечивой. Это значит, что из данной системы аксиом (не­противоречивой) нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения. Основным методом доказательства непротиворечивости является метод моделирования, или метод интерпретаций, который строится для математических теорий на базе теории множеств.

С математическими понятиями происходит процесс сведения сложных поня­тий к простым. Многие из них можно определить в терминах других поня­тий. Но опять же самые первые понятия не могут быть определены, т. к. нет более ранних понятий, в терминах которых их можно было бы определить. Поэтому нужно выбрать некоторые понятия, называемые основными, кото­рые будут лишь поясняться, оставаясь формально неопределенными. Ос­тальные понятия, называемые производными, определяются в терминах ос­новных.

Совокупность основных и производных понятий, аксиом и теорем называется аксиоматической системой. Все составляющие аксиоматической системы могут рассматриваться с двух точек зрения: в виде объекта, имеющего собст­венную внутреннюю структуру, или в виде предложения, выражающего оп­ределенный факт. Изучение внутренней структуры аксиом и теорем называ­ется синтаксическим изучением аксиоматических систем, изучение их смысла — семантическим изучением.

Современная теория множеств— база математической логики— не содер­жит "парадоксов" (типа парадокса Рассела о "нормальном" множестве), од­нако средства этой аксиоматической теории не позволяют доказать ее непро­тиворечивость.