Вводное занятие.
Логика в науке, технике, экономике,
информационных технологиях и практической деятельности
При изучении нового курса прежде всего возникают вопросы: что предстоит изучить в этом курсе, как и зачем это нужно изучать?
Сначала выясним, что изучает математическая логика. Предмет изучения математической логики весьма необычен – это математические рассуждения, доказательства и теории.
Второй вопрос: как, каким образом осуществляется изучение математических рассуждений? Поскольку математическая логика – это область математики, то она пользуется математическими средствами и методами.
Слово «логика» и производные от него часто можно встретить на страницах всевозможных печатных изданий и услышать в разговорной речи. Каков же смысл этого слова? Заглянем в толковый словарь С. И. Ожегова. Там сказано: «Логика — наука о законах мышления и его формах» и еще: «Логика — ход рассуждений, умозаключений». Слово «логика» происходит от греческого «логос», что, с одной стороны, означает «слово» или «речь», а с другой — то, что выражается в речи, т. е. мышление. Логика изучает лишь те акты мышления, которые фиксированы в языке в виде слов, предложений и их совокупностей. Таким образом, логика имеет непосредственное отношение к языку, речи. Поэтому логика соприкасается с грамматикой и, более широко, с лингвистикой (наукой о языке). С помощью логических средств наш естественный язык уточняется, приобретает четкость и определенность.
Логика как наука сформировалась очень давно — в IV в. до н.э. Ее создал древнегреческий ученый Аристотель. В течение многих веков логика почти совсем не развивалась. Это, конечно, свидетельствует о гениальности Аристотеля, которому удалось создать столь полную научную систему, что, казалось, «не убавить, не прибавить». Однако в силу такой неизменности логика приобрела славу мертвой, застывшей науки и вызывала у многих скептическое к себе отношение. Сухость и видимую бесплодность логики высмеивали Рабле, Свифт и др.
В XVII в. великий немецкий ученый Лейбниц задумал создать новую логику, которая была бы «искусством исчисления». В этой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соответствовал бы символ, а рассуждения имели бы вид вычислений. Эта идея Лейбница, не встретив понимания современников, не получила распространения и развития.
Впервые идеи Лейбница реализовал Д. Буль в 40-х гг. девятнадцатого столетия. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к появлению алгебры высказываний. Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению из-за особенностей человеческой психики. Современная математическая логика определяется как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики. Одна из главных причин широкого распространения математической логики— применение аксиоматического метода в построении различных математических теорий. В нем сначала выбираются некоторые понятия, которые не определяются, а лишь поясняются. Затем без доказательства принимается некоторый набор аксиом, а уже потом из этих аксиом логически строго выводятся и доказываются все оставшиеся положения теории.
Самым ранним примером аксиоматической теории являются "Начала" Евклида. Однако система аксиом, положенная Евклидом в основу теории, не является единственной и содержит небесспорный пятый постулат (аксиому о параллельных прямых). Это не означает, что построенная затем теория (классическая геометрия) была неверной, но указывает на возможность построения иных геометрий (геометрии Лобачевского, например).
Отличительная черта математической логики — использование доказательств, а не наблюдений. Однако ясно, что невозможно доказать все математические законы, т. к. самые первые из них не могут быть доказаны: нет более ранних законов, из которых они могут быть выведены. Поэтому необходимо выбрать некоторые начальные законы, называемые аксиомами, которые принимаются без доказательств, остальные законы — теоремы — могут быть доказаны исходя из аксиом,
К системе аксиом предъявляется одно непременное требование — она должна быть непротиворечивой. Это значит, что из данной системы аксиом (непротиворечивой) нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения. Основным методом доказательства непротиворечивости является метод моделирования, или метод интерпретаций, который строится для математических теорий на базе теории множеств.
С математическими понятиями происходит процесс сведения сложных понятий к простым. Многие из них можно определить в терминах других понятий. Но опять же самые первые понятия не могут быть определены, т. к. нет более ранних понятий, в терминах которых их можно было бы определить. Поэтому нужно выбрать некоторые понятия, называемые основными, которые будут лишь поясняться, оставаясь формально неопределенными. Остальные понятия, называемые производными, определяются в терминах основных.
Совокупность основных и производных понятий, аксиом и теорем называется аксиоматической системой. Все составляющие аксиоматической системы могут рассматриваться с двух точек зрения: в виде объекта, имеющего собственную внутреннюю структуру, или в виде предложения, выражающего определенный факт. Изучение внутренней структуры аксиом и теорем называется синтаксическим изучением аксиоматических систем, изучение их смысла — семантическим изучением.
Современная теория множеств— база математической логики— не содержит "парадоксов" (типа парадокса Рассела о "нормальном" множестве), однако средства этой аксиоматической теории не позволяют доказать ее непротиворечивость.
