Взаимное расположение двух плоскостей

Если , то они:

1) пересекаются

2) параллельны (но не совпадают)

3) совпадают

Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

1)

2)

3)

Угол между плоскостями

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей

или

Расстояние между параллельными плоскостями

Если плоскости заданы уравнениями и , то

а если уравнениями и , то

Пучок плоскостей

Если

есть ось пучка, то уравнение пучка

Связка плоскостей

Если - центр связки, то уравнение связки имеет вид

Если центр задан пересечением трех плоскостей:

то уравнение связки имеет вид

Линии второй степени

Канонические уравнения

Окружность

Окружность радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение касательной к окружности в произвольной точке

Параметрические уравнения:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):

Эллипс (рис. 4.14)

Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (a > c). Эллипс - множество точек M плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от точек и равна 2a. Точки и называются фокусами эллипса; - большая ось; - малая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы;

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Фокальные радиусы:

Фокальный параметр:

Уравнения директрис:

Основное свойство директрис: где r - фокальный радиус любой точки эллипса; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.

Уравнение касательной в точке

Свойство касательной к эллипсу:

Уравнение нормали в точке

Уравнение диаметра (сопряженного хордам с угловым коэффициентом k):

Параметрические уравнения эллипса:

Полярное уравнение:

Площадь, ограниченная эллипсом:

Гипербола (рис. 4.15)

Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (0 < a < c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек и равен 2a. Точки и называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы:

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Фокальные радиусы:

для правой ветви

для левой ветви

Фокальный параметр:

Уравнения директрис:

Основное свойство директрис: где r - фокальный радиус любой точки гиперболы; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.

Уравнение касательной в точке

Свойство касательной к гиперболе:

Уравнение нормали в точке

Уравнения асимптот:

Уравнение гиперболы, сопряженной данной

Уравнение равносторонней гиперболы:

каноническое

отнесенное к осям как к асимптотам:

Уравнение диаметра (сопряженного хордам с угловым коэффициентом k):

Параметрические уравнения гиперболы:

Полярное уравнение:

Парабола (рис. 4.16)

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Фокальный радиус:

Уравнение директрисы:

Уравнение касательной в точке

Свойство касательной к параболе: (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).

Уравнение нормали в точке

Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.

Параметрические уравнения параболы:

Полярное уравнение:

Другие формы канонического уравнения (рис. 4.17):

Общие уравнения линий второй степени

Общее уравнение

определяет одну из следующих линий:

Инварианты общего уравнения линий второй степени

Инварианты по отношению к преобразованию одной декартовой прямоугольной системы в другую: