Аналитическая геометрия, математические формулы
Системы координат на плоскости и в пространстве
Системы координат на плоскости
Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, 
- базисные векторы, 
- абсцисса точки M (
- проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), 
- ордината точки M (
- проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).
Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)
О - начало координат, 
- оси координат, 
, 
- координаты точки M (
- проекция точки M на ось 
параллельно оси 
, аналогично 
), 
- базисные векторы.
Полярные координаты (рис. 4.3)
О - полюс, Ox - полярная ось, 
- полярный радиус, 
- полярный угол.
Главные значения 
и : 
(иногда 
).
Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные
Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные
Системы координат в пространстве
Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4)
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат, 
- базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), 
- ордината точки M (
- проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).
Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.5)
О - начало координат, 
- оси координат, 
, 
, 
- координатные плоскости, 
- координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно плоскости ; аналогично , 
), 
- базисные векторы.
Цилиндрические координаты (рис. 4.6)
Главные значения , , 
: 
Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:
Сферические координаты (рис. 4.7)
Главные значения , , 
: 
Иногда вместо рассматривают 
: 
Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами
или 
Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости
Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)
Поворот координатных осей (рис. 4.9)
Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)
Простейшие задачи аналитической геометрии
Расстояние между двумя точками
где 
и 
радиус-векторы точек 
и 
.
В координатах:
на прямой 
на плоскости 
в пространстве 
Деление отрезка в данном отношении 
В координатах:
на прямой 
;
на плоскости , 
;
в пространстве , , 
Середина отрезка ( = 1)
В координатах:
на прямой 
;
на плоскости , 
;
в пространстве , , 
.
Координаты центра масс системы материальных точек
Если в точках 
(с радиусами-векторами 
) сосредоточены массы 
то радиус-вектор центра масс
В координатах:
Площадь треугольника по трем точкам
Если , , 
- радиус-векторы вершин треугольника, 
то
В координатах:
в общем случае
для треугольника, лежащего в плоскости Oxy (mod a = | a |),
Объем параллелепипеда
Если параллелепипед построен на приведенных к общему началу векторах 
, а , , , 
- радиус-векторы его соответствующих вершин 
то объем параллелепипеда
В координатах
Объем тетраэдра
Если - исходящие из одной вершины ребра тетраэдра, а , , , - радиус-векторы соответствующих вершин тетраэдра, то его объем
Прямая на плоскости
Общее уравнение
Ax + By + C (
> 0).
Вектор 
= (А; В) - нормальный вектор прямой.
В векторном виде: 
+ С = 0, где 
- радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).
Частные случаи:
1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;
2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;
3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
4) y = 0 - ось Ox;
5) x = 0 - ось Oy.
Уравнение прямой в отрезках
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)
где 
- угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
Здесь 
- нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если 
и произвольно, если C = 0.
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где 
- фиксированная точка, лежащая на прямой; 
- направляющий вектор (см. рис. 4.11).
В координатах (параметрические уравнения):
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)
или
или
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)
или 
где 
b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Отклонение точки от прямой
или 
где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых
Прямые 
и 
:
пересекаются 
параллельны (но не совпадают) 
совпадают 
Прямые 
и 
:
пересекаются 
параллельны (но не совпадают) 
совпадают 
Прямые 
и 
:
пересекаются 
параллельны (но не совпадают) 
совпадают 
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или 
или 
Расстояние между параллельными прямыми
Если прямые заданы уравнениями 
и 
то
а если уравнениями 
и 
то
Пучок прямых
Если 
- центр пучка, то уравнение пучка
Если центр задан пересечением двух прямых
то уравнение пучка
Прямая в пространстве
Способы задания прямой
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где 
- фиксированная точка, лежащая на прямой; 
- направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Канонические уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
при условии, что не имеют места равенства
Направляющий вектор такой прямой
где
