На практике исследования и построения изображений система двух взаимно перпендикулярных плоскостей не всегда дает возможность однозначного решения. Так, например, если переместить точку А вдоль оси Х, то ее изображение не изменится.
Положение точки в пространстве (рис. 2.22) изменилось (рис. 2.24), а изображения на комплексном чертеже остались без изменений (рис. 2.23 и рис. 2.25).
| 
|
| Рис. 2.22 | Рис. 2.23 |
| 
|
| Рис. 2.24 | Рис. 2.25 |
Для решения данной задачи вводят систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей, так как при составлении чертежей, например машин и их частей, требуется не два, а больше изображений. На этом основании в некоторые построения при решении задач необходимо вводить в систему p1, p2 и другие плоскости проекций.
Рис. 2.26
| Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскостиp1,p2,p3(рис. 2.26). Вертикальная плоскостьp3называется профильной плоскостью проекции. Пересекаясь между собой, плоскостиp1,p2,p3 образуют оси проекций, при этом пространство делится на 8 октантов.
p1  p2 = x; -x
p1p3 = у; -у
p2 p3 = z; -z
0 – точка пересечения осей проекций.
|
Эти плоскости делят все пространство на VIII частей, которые называются октантами (от лат. okto восемь). Плоскости не имеют толщины, непрозрачны и бесконечны. Наблюдатель находится в первой четверти (для систем p1, p2) или первого октанта (для систем p1, p2, p3) в бесконечном удалении от плоскостей проекций.
§ 6. Точка в системе p1, p2, p3
Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте, на три взаимно перпендикулярные плоскости p1, p2, p3 показано на рис. 2.27. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью p 2 и применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.28):
АА1 ^ p1; АА 2 ^ p2; АА 3 ^ p3,
где А3 – профильная проекция точки А; АХ, Аy, АZ – осевые проекции точки А.
Проекции А1, А2, А3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.
| 
|
| Рис. 2.27 | Рис. 2.28 |
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.
Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.
Для получения комплексного чертежа применим способ вращения плоскостей p1 и p3 (как показано на рис. 2.27) до совмещения с плоскостью p2. Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.29.
Рис. 2.29
Здесь оси Оx и Оz, лежащие в неподвижной плоскости p2, изображены только один раз, ось Оy показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью p1, ось y на эпюре совмещается с осью Оz, а вращаясь с плоскостью p3, эта же ось совмещается с осью Оx.
Рассмотрим рис. 2.30, где точка пространства А, задана координатами (5,4,6). Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А.
Рис. 2.30
Говоря о системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже (рис. 2.30), необходимо отметить следующее.
Первое
1. две проекции точки принадлежат одной линии связи;
2. две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;
3. линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.
Второе
Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х, а y и z повторяются).
Таблица 2.3
| x | y | z | Октант |
| + | + | + | I |
| + | _ | + | II |
| + | _ | _ | III |
| + | + | _ | IV |
Образование комплексного чертежа в системе трех плоскостей проекций осуществляется совмещением плоскостей p1, p2, p3 (рис. 2.31).
Рис. 2.31
Ось у в этом случае имеет два положения: y1 c плоскостью p1, y3 c плоскостью p3.
Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x, фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.
А1АХ = А3АZ = АА2 – расстояние от А до p2
А2АХ = А3Аy = АА1 – расстояние отА до p1
А1Аy = А2АZ = АА3 – расстояние от А до p3
Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.32).
Рис. 2.32
При построении проекции точки в пространстве и на комплексном чертеже могут применяться различные алгоритмы.
1. Алгоритм построения наглядного изображения точки, заданной координатами (рис. 2.30):
1.1. Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3.
1.2. Определить четверть, в которой расположена точка.
1.3. Выполнить наглядное (аксонометрическое) изображение четверти.
1.4. Отложить координаты точки на осях АХ, АY, АZ.
1.5. Построить проекции точки на плоскостях p1, p2, p3.
1.6. Построить перпендикуляры к плоскостям p1, p2, p3 в точках проекции А1, А2, А3.
1.7. Точка пересечения перпендикуляров есть искомая точка А.
2. Алгоритм построения комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций p 1, p 2, p 3, заданной координатами (рис. 2.32)
2.1. Определить по координатам четверть, в которой расположена точка.
2.2. Определить механизм совмещения плоскостей.
2.3. Построить комплексный чертеж четверти.
2.4. Отложить координаты точки на осях x, y, z (АХ, АY, АZ).
2.5. Построить проекции точки на комплексном чертеже.
§ 7. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I–IV октантах
Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).
Таблица 2.4
| Октант | Наглядное изображение | Комплексный чертеж |
| I | 
| 
|
| II | 
| 
|
| III | 
| 
|
| IV | 
| 
|
