Расчет расширенной неопределенности

Хотя суммарная стандартная неопределенность повсеместно используется для выражения неопределенности измерения, а также по предложению МКМВ при представлении результатов всех международных сличений или других работ под эгидой МБМВ и Консультативных Комитетов, в некоторых случаях в торговле, промышленности и регулирующих актах, а также когда дело касается здоровья и безопасности, часто необходимо дать меру неопределенности, которая указывает интервал для результата измерения, в пределах которого, можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать измеряемой величине. Такой дополнительной мерой неопределенности является расширенная неопределенность U.

Расширенную неопределенность U получают путем умножения суммарной стандартной неопределенности u_с (y) на коэффициент охвата k:

В случае указания расширенной неопределенности результат измерения выражается в виде интервала Y = y ± U (y - U £ y £ y + U), который содержит большую часть распределения вероятностей, характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью, и р является вероятностью охвата или уровнем доверия этого интервала. Следует обратить внимание на то, что в концепции неопределенности слово "доверие" не используется для модификации слова "интервал", когда ссылаются на интервал, определяемый U. Термин "доверительный уровень" также не используется в связи с интервалом, так как эти термины имеют в статистике специальные определения и применяются к интервалу, когда выполнены определенные условия.

Умножение суммарной стандартной неопределенности на какую-то величину не дает никакой новойинформации, а просто представляет ее в новом виде, так как вся имеющаяся информация об измеряемой величине представлена с помощью параметра функции распределения вероятностей, которым является стандартная неопределенность.

Значение коэффициента охвата k выбирается на основе уровня доверия р, требуемого интервалом от y - U до y + U, и для этого необходимо полное знание о распределении вероятностей, характеризуемом результатом измерения и суммарной стандартной неопределенностью. И хотя эти параметры обладают большой значимостью, без знания действительного распределения вероятностей измеряемой величины их недостаточно, чтобы установить интервалы, имеющие точно известные уровни доверия. Поэтому для "назначения" распределения вероятностей, характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью, в концепции неопределенности используются положения Центральной Предельной теоремы

В соответствии с положением Центральной Предельной теоремой можно допустить, что распределение вероятностей, характеризуемое результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью, может считаться нормальным в случаях, когда:

оценку измеряемой величины Y получают из оценок х_i числа N ³ 3 входных величин, которые описываются "хорошо ведущими себя" распределениями, такими как нормальное и прямоугольное;

стандартные неопределенности u (x_i) этих оценок дают сопоставимые вклады в суммарную неопределенность u_c (y), связанную с результатом измерения у;

оценки неопределенностей входных величин являются достаточно надежными.

Например, при оценивании стандартной неопределенности по типу А из малого числа (n < 10) повторных результатов измерения неопределенность такой оценки ("неопределенность неопределенности") может достигать 50% при n=3.

Надежность стандартной неопределенности измерения, связанной с оценкой выходной величины, может оцениваться с помощью эффективных степеней свободы νeff. Критерий надежности в общем полностью выполняется, если вклад в неопределенность, обусловленный стандартной неопределенностью входной величины, оцененной по типу А, определялся из числа повторных наблюдений не менее 10.

Следовательно, в случаях, когда измеряемой величине может приписываться нормальное распределение вероятностей, для расчета расширенной неопределенности Up = k_p uc (y), которая обеспечивает уровень доверия р, можно использовать для k_p значения из нормального закона распределения. На практике, а также при проведении калибровок принимают k =2 для интервала, имеющего уровень доверия 95% и k =3 для интервала, имеющего уровень доверия 99%.

Когда выполняется условия центральной предельной теоремы, но не выполняется условие надежности распределение вероятностей результата измерения описывается распределением Стьюдента (t -распределением) с эффективными степенями свободы ν_{eff .} Оценка эффективных степеней свободы n_eff для стандартной неопределенности измерения u_c(y) осуществляется с помощью формулы (7).

Для значения стандартной неопределенности измерения u (x_i), которое определяется по методу оценивания неопределенности по типу А, степень свободы рассчитывается как n_i=n-1. Cтепени свободы для стандартной неопределенности измерения, значение которой определено по методу оценивания неопределенности по типу В, могут приниматься n_i®¥. Коэффициент охвата k определяют из таблицы. Эта таблица базируется на t -распределении, которое установлено для вероятности охвата 95,45% и 99,73%. Если n_eff является не целым числом, что обычно и происходит, то его уменьшают до ближайшего целого числа.

Когда вклад неопределенности входной величины в суммарную стандартную неопределенность является доминирующим, то есть ее стандартная неопределенность больше, чем суммарная стандартная неопределенность всех остальных входных величин, то распределение вероятностей, характеризуемое результатом измерения и суммарной стандартной неопределенностью, предполагается аналогичным распределению вероятностей доминирующего вклада.

Таблица 2 - Значения эффективных степеней свободы и коэффициентов Стьюдента

Для сравнения вкладов источников неопределенности в суммарную стандартную неопределенность используют понятие процентного вклада. Процентный вклад неопределенности i -ой входной величины в суммарную стандартную неопределенность вычисляется как:

(29)

Сумма всех процентных вкладов должна быть равна 100%.

Когда вклад источника неопределенности входной величины, имеющей прямоугольное распределение, в суммарную стандартную неопределенность, является доминирующим, то есть ее стандартная неопределенность больше, чем суммарная стандартная неопределенность всех остальных входных величин, то распределение вероятностей, характеризуемое результатом измерения и суммарной стандартной неопределенностью является прямоугольным. В этом случае для р = 95 % kp = 1,65, а для р = 99 % kp = 1,71.