Трикроковий метод найменших квадратів

Зельнер і Гейл [1] запропонували трикроковий метод найменших квадратів, який за певних обставин є більш ефективним, ніж двокроковий.

Розглянемо загальну лінійну модель, яка містить r взаємозв’язаних ендогенних і k екзогенних змінних. Запишемо s -те рівняння цієї моделі у вигляді

(11.45)

де — вектор значень ендогенної змінної s -го рівняння розміром n  1;

— матриця поточних ендогенних змінних s -го рівняння, розміром n  r;

— матриця екзогенних змінних s -го рівняння, розміром n  ;

і — вектори параметрів;

— вектор залишків.

Об’єднавши дві матриці і в матрицю , перепишемо (11.45) у вигляді:

(11.46)

де і . (11.47)

Помножимо рівняння (11.46) зліва на , де X — матриця всіх екзогенних змінних моделі, розміром n  k:

(11.48)

Для цієї моделі коваріаційна матриця залишків має вигляд

(11.49)

де — стала дисперсія залишків s -го рівняння, а — дисперсія залишків системи рівнянь моделі. З урахуванням (11.49) оцінка параметрів моделі (11.48) може бути виконана узагальненим методом найменших квадратів.

. (11.50)

Запишемо систему рівнянь (11.46) у вигляді такої матричної форми:

. (11.51)

Матриця коваріацій для вектора залишків, який входить в рівняння (11.51) буде мати вигляд:

. (11.52)

Нехай елементи матриці створюють матрицю S, тоді і . Метод Ейткена дає наближені оцінки параметрів системи (11.51). Але для того щоб одержати ці оцінки, необхідно знати матрицю V, яка залежить від невідомої матриці S.

Зельнер і Гейл [1] запропонували обчислювати елементи матриці S на основі залишків, здобутих за допомогою двокрокового методу найменших квадратів. Тобто, двокроковий метод застосовується при оцінюванні параметрів за формулою (11.50) для кожного структурного рівняння. Після чого знайдені оцінки підставляються в (11.46). Обчислюються значення , з допомогою яких можна знайти .

На основі визначаються дисперсії залишків для кожного рівняння , які є наближеною оцінкою .

Звідси оператор оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів матиме вигляд:

(11.53)

Оцінку асимптотичної матриці коваріацій параметрів дає обернена матриця, яка міститься в правій частині виразу (11.53), тобто

(11.54)

Трикроковий метод найменших квадратів забезпечує кращу порівняно з двокроковим методом асимптотичну ефективність оцінок лише в тому разі, коли матриця не є діагональною, тобто коли залишки, які входять в різні рівняння моделі, корелюють між собою.

Щоб застосувати трикроковий метод найменших кввадратів на практиці необхідне виконання таких вимог:

1) усі тотожності, які входять в систему рівнянь, треба виключити, приступаючи до знаходження оцінок параметрів;

2) кожне неідентифіковане рівняння також треба виключити з системи;

3) якщо система рівнянь, що залишилась, має точно ідентифіковані і надідентифіковані рівняння, то трикроковий метод оцінки доцільно застосовувати до кожної з цих груп;

4) для групи надідентифікованих рівнянь оцінки параметрів знаходяться на основі співвідношення (11.53), взявши значення r таким, що дорівнює числу надідентифікованих рівнянь;

5) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то трикроковий метод перетворюється на двокроковий;

6) якщо матриця коваріацій для структурних залишків блочно-діагональна, то вся процедура оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів може бути застосована окремо до кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.