Рассмотрим следующую задачу линейного программирования[16]:
На рис. 4.1 представлено множество допустимых точек, удовлетворяющих всем ограничениям задачи и представляющее собой пересечение полуплоскостей, отражающих ограничения задачи линейного программирования.
Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация решения задачи
Геометрическую интерпретацию имеют ЗЛП с двумя переменными.
Исследуем целевую функцию 30 х1 + 40 х2. Данной целевой функции соответствует семейство прямых 30 х1 + 40 х2 = L, представляющих собой множество параллельных прямых, каждая из которых соответствует определенному значению параметра L. Тогда задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом. Найти такое максимальное значение L, при котором прямая 30 х1 + 40 х2 = L пересекает допустимое множество.
В общем случае с геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на которой достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня (прямая, отражающая целевую функцию), расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент целевой функции Ñ f (` X) на плоскости Х1ОХ2. Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции, он равен
,
где 
и 
- единичные векторы по осям ОХ1 и ОХ2 соответственно. Таким образом, Ñ f (` X) = ( ¶ f/ ¶ x1, ( ¶ f/ ¶ x2). Координатами вектора-градиента целевой функции Ñ f (` X) являются коэффициенты целевой функции f (` X).
В рассматриваемом примере, если двигать прямую 30 х1 + 40 х2 = L из начала координат по направлению вектора-градиента целевой функции, то точкой, в которой достигается самая верхняя линия уровня является точка М пересечения прямых 5 x1 + 2 x2 = 1000 и x1 + 2 x2 = 4000 с координатами x1 = 1500 и x2 = 1250. Таким образом, оптимальное решение достигается в точке М (1500; 1250). При этом значение целевой функции составит f (` X*) =30 * 1500 + 40 * 1250 = 95000.
На этом примере можно увидеть основные свойства задач линейного программирования: допустимое множество точек представляет собой выпуклый многоугольник, получившийся в результате пересечения полуплоскостей и наибольшее значение целевой функции достигается в его вершине – крайней точке.
Решение задачи линейного программирования может быть не единственным, а состоять из бесконечного числа точек.
Таким образом, решение задачи линейного программирования состоит в следующем: необходимо построить многоугольник допустимых точек, найти его вершины и выбрать из них те, координаты которых придают максимальное значение целевой функции.
