22. Вблизи точки А на границе магнетик-вакуум магнитная индукция в вакууме равна 
, причем вектор индукции составляет угол a с нормалью к поверхности раздела в данной точке. Магнитная проницаемость магнетика составляет m. Определить вектор индукции 
в магнетике вблизи точки А.
Решение
Пусть b - угол между нормалью направлением индукции в магнетике. Условие равенства нормальных проекций индукции следующее:
B0cosa=Bcosb
Условие равенства касательных проекций напряженности:
B0sina=(B/m)sinb
Из этих уравнений следует
tgb=mtga
Пользуясь тригономерическим тождеством
,
получим
.
23. Однослойная тороидальная катушка с железным сердечником имеет N=500 витков обмотки, по которой течет ток I= 1A. Радиус поперечного сечения тора r=1 см, радиус его средней окружности R=10 см. Сердечник имеет воздушный зазор толщиной L=1 мм. Определить индукцию магнитного поля в сердечнике и в зазоре, а также намагниченность сердечника. Магнитная проницаемость железа m=1000, рассеянием поля на краях зазора пренебречь. Оценить энергию магнитного поля тороидальной катушки.
Решение
Пусть H1 - напряженность магнитного поля в сердечнике, - H – в зазоре.Используя теорему о циркуляции вдоль средней окружности сердечника, получим
2pRH1+HL=NI
Так как рассеянием поля в зазоре можно пренебречь, в зазоре имеется только нормальная составляющая индукции. Из условия непрерывности нормальной составляющей получим
mH1=H
Из этих уравнений следует H1=NI/(2pR+mL), B1=B=mm0 NI/(2pR+mL). Намагниченность
J=B1 -m0H1=(m-1)m0 NI/(2pR+mL)
Плотность энергии магнитного поля w1=BH1/2, w=BH/2. Если объем сердечника Vc=pr22pR, зазора V=pr2 L. Отсюда получаем энергию магнитного поля
W= w1 Vc +wV=(1/2) pr2mm0 (NI)2/(2pR+mL)
Электромагнитная индукция. Самоиндукция
24. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты сверху проводником. По стержням без трения и нарушения контакта начинает скользить перемычка длиной L=10 см и массой m=20 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией B=0.1 Тл, перпендикулярной к ее плоскости. Какой максимальной скорости достигнет перемычка при своем движении вниз? Сопротивление перемычки R=0.05 Ом, сопротивлением стержней и проводника пренебречь, ускорение свободного падения g=9.8 м/с2.
Решение
Пусть скорость рамки v, тогда за время dt площадь контура, ограниченного стержнями, проводником и перемычкой, изменяется на величину dS=Lvdt. Магнитный поток через этот контур изменяется на величину dF=BLvdt, при этом в контуре возбуждается ЭДС индукции,
ЭДС = BLv,
благодаря чему в контуре начинает течь ток I=ЭДС/R=BLv/R. Со стороны магнитного поля на перемычку с током действует сила Ампера F=BLI=(BL)2v/R. По правилу Ленца эта сила препятствует изменению магнитного потока, т.е. направлена вверх. Кроме силы Ампера на перемычку действует сила веса, направленная вниз. Второй закон Ньютона для движения перемычки имеет вид
Скорость достигает максимальной величины, когда полная сила становится равной нулю:
vмакс=mgR/(BL)2
Подставляя численные значения, получим vмакс =0.02 9.8 0.05/(0.1 0.1)2 = 98 м/с
25. Соленоид представляет собой полый цилиндр радиуса R и длины L, на поверхность которого плотно намотан в один слой тонкий провод. Отношение числа витков провода в обмотке соленоида к его длине составляет n. Определить индуктивность соленоида, плотность энергии и энергию его магнитного поля, если по его обмотке течет ток I. Провести оценки для следующих величин: R=1 см, l=50 см, n=15 витков/см, I=1 А.
Решение
Индукция магнитного поля внутри соленоида составляет B= m0nI, вне соленоида B =0, напряженность магнитного поля H= nI. Магнитный поток через один виток составляет F1=BS=pR2 m0nI. Всего соленоид содержит N=nl витков. Полный магнитный поток через все витки соленоида F=F1N=m0p R2ln2I=LI. Отсюда видно, что коэффициент самоиндукции соленоида есть L=m0p R2ln2. Энергия магнитного поля соленоида Wмагн = LI2/2=m0p R2ln2 I2/2. Так как объем соленоида V=p R2l, плотность энергии магнитного поля в соленоиде wмагн = Wмагн/V=m0n2 I2/2=BH/2
Последний результат имеет общий характер: плотность энергии магнитного поля есть
wмагн = 
,
независимо от того, каким образом это поле создается.
