Проводники в электрическом поле

Закон Кулона, теорема Гаусса и теорема о циркуляции для электрического поля. Потенциал электрического поля.

1. Определить силу кулоновского притяжения электрона водородного атома к его ядру, если диаметр атома водорода порядка 2 10^-8 см. Сравнить ее с силой гравитационного притяжения.

Решение

Атом водорода представляет собой систему из двух зарядов – положительно заряженного протона и вращающегося вокруг него электрона. Заряды протона и электрона по абсолютной величине одинаковы и равны е=1.6 10 ^–19 Кл. Расстояние между зарядами порядка половины диаметра атома а=d/2 = 10 ^–10 м. Сила кулоновского притяжения

=2.3 10^-8 Н

Сила гравитащионого притяжения электрона к протону (масса электрона m=9.1 10 ^–31 кг, масса протона M= 1.67 10 ^–27 кг, гравитационня постоянная G = 6.67 10^-11 Н м²/кг²)

=1 10 ^–47 Н

Кулоновсая сила в 2.3 10³⁹ раз больше гравитационной силы.

 

2. Молекула воды Н₂О имеет постоянный дипольный момент р=6.2 10 ^–30 Кл м, направленный от центра иона О^2- к середине прямой, соединяющей центры ионов Н⁺. Определить силу взаимодействия молекулы воды и электрона, если расстояние между ними r= 10 нм и дипольный момент молекулы направлен вдоль соединяющей их прямой.

Решение

Угол между направлением дипольного момента и направлением на точку наблюдения θ =0. Поэтому в точке нахождения электрона напряженность поля диполя направлена по оси диполя, E=E_//=2p/r³. Сила, действующая на электрон, F=eE=2pe/r³ = 2 10 ^–24 Н.

 

3. Тонкий стержень длиной L =20 см заряжен равномерно зарядом q=10 ^–9 Кл. Определить напряженность электрического поля в т. А, находящейся на расстоянии r=10 см от центра стержня О (прямая АО перпендикулярна стержню). Исследовать зависимость напряженности от расстояния r для случаев r>>L и r<<L.

Решение.

Пусть X - точка на стержне с координатой х, отсчитываемой от центра вдоль стержня, θ – угол между прямыми АХ и АО. В силу симметрии относительно прямой АО напряженность поля на прямой АО направлена параллельно этой прямой, т.е. E=E_//. Т.к. стержень заряжен равномерно, на отрезок длиной dx приходится заряд dq=qdx/L. Этот заряд создает в точке А составляющую поля dE_//=(kdq/(r²+x²)cos θ= krdq/(r²+x²)^3/2. Тогда

E=E_//=(kqr/L) =(kqr/L)(L/r²/(r²+L²/4)^1/2=(kq/r)/(r²+L²/4)^1/2

При L=0.2 м, r = 0.1 м и q=10 ^–9 Кл E =636 В/м.

Если r<<L, то E=2kq/Lr, если r<<L, то E=kq/r².

 

4. Сферический конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами радиусов R₁ и R₂ (R₁ < R₂). Внутренней сфере сообщают заряд q, а внешней – q. Определить напряженность электрического поля в конденсаторе в зависимости от расстояния r от общего центра сфер и построить график этой зависимости.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра сфер О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R₂ или r< R₁, то полный заряд внутри сферы равен нулю, если R₁ < r< R₂ то полный заряд равен q. Поэтому E(r)=kq/r², если R₁ < r< R₂ и E(r)=0 при r> R₂ или r< R₁.

 

5. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить напряженность электрического поля в зависимости от расстояния r от центра шара и построить график этой зависимости.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR³/3)ρ,и E(r)=kq/r², если r> R. Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr³/3)ρ, и E(r)=kqr/R³.

 

6. Сфера радиуса R равномерно по поверхности заряжена зарядом q. Определить напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния r от центра шара и построить график этих зависимостей. Потенциал бесконечно удаленнойточки принять равным нулю.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q. Тогда E(r)=kq/r², φ(r)= kq/r,если r> R. Если r< R, то заряд внутри сферы q=0, и E(r)=0, φ(r)= kq/R= const.

 

7. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить разность потенциалов между точкой О в центре шара и точкой А на расстоянии 2 R от центра.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR³/3)ρ,и E(r)=kq/r², φ(r)= kq/r. Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr³/3)ρ, и E(r)=kqr/R³, φ(r)= kq/R + . Потенциал в центре шара φ(0)= 3kq/2R, потенциал в точке А φ(2R)= kq/2R. Разность потенциалов φ(0)- φ(2R)= kq/R.

 

8. Три одинаковых точечных заряда (масса каждого m, заряд q) удерживаются в вершинах правильного треугольника со стороной a. Определить скорости этих зарядов после того, как их отпустят, и они разлетятся на большое расстояние друг от друга.

Решение

В силу симметрии заряды приобретут одинаковые скорости v, их полная кинетическая энергия будет 3mv²/2. В начальном состоянии потенциальная энергия взаимодействия каждой пары зарядов составляет q²/a, потенциальная энергия взаимодействия каждого заряда с двумя другими составляет 2 q²/a, потенциальная энергия взаимодеиствия всех зарядов друг с другом 3( 2 q²/a)=6 q²/a. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, т.е. 3mv²/2=6 q²/a, откуда

 

 

Проводники в электрическом поле.

9. В точке на границе раздела стекла и воздуха напряженность поля в воздухе составляет E₀=10 В/м, а угол между вектором напряженности и нормалью к поверхности составляет α=30˚. Определить вблизи той же точки напряженность поля в стекле и поверхностную плотность поляризационных зарядов. Диэлектрическая проницаемость стекла ε.

Решение.

Пусть Е₁ – напряженность элекрического поля в стекле, β - угол между направлением вектора напряженности в стекле и нормалью. Тангенциальная составляющая напряженности в воздухе E_t1 = E₀sinα, в стекле – E_t2=E₁sinβ. Нормальная составляющая вектора индукции в воздухе D_n1 = ε₀E₀cosα, в стекле D_n2 = εε₀E₁ cosβ. Условия непрерывности тангенциальной составляющей напряженности и нормальной составляющей индукции на границе раздела:

E₀sinα= E₁sinβ

ε₀E₀cosα= εε₀E₁ cosβ

Разделив первое из уравнений на второе, получим

tgβ=εtgα.

Из первого уравнения найдем

Е₁=Е₀ sinα/sinβ