Закон Кулона, теорема Гаусса и теорема о циркуляции для электрического поля. Потенциал электрического поля.
1. Определить силу кулоновского притяжения электрона водородного атома к его ядру, если диаметр атома водорода порядка 2 10-8 см. Сравнить ее с силой гравитационного притяжения.
Решение
Атом водорода представляет собой систему из двух зарядов – положительно заряженного протона и вращающегося вокруг него электрона. Заряды протона и электрона по абсолютной величине одинаковы и равны е=1.6 10 –19 Кл. Расстояние между зарядами порядка половины диаметра атома а=d/2 = 10 –10 м. Сила кулоновского притяжения
=2.3 10-8 Н
Сила гравитащионого притяжения электрона к протону (масса электрона m=9.1 10 –31 кг, масса протона M= 1.67 10 –27 кг, гравитационня постоянная G = 6.67 10-11 Н м2/кг2)
=1 10 –47 Н
Кулоновсая сила в 2.3 1039 раз больше гравитационной силы.
2. Молекула воды Н2О имеет постоянный дипольный момент р=6.2 10 –30 Кл м, направленный от центра иона О2- к середине прямой, соединяющей центры ионов Н+. Определить силу взаимодействия молекулы воды и электрона, если расстояние между ними r= 10 нм и дипольный момент молекулы направлен вдоль соединяющей их прямой.
Решение
Угол между направлением дипольного момента и направлением на точку наблюдения θ =0. Поэтому в точке нахождения электрона напряженность поля диполя направлена по оси диполя, E=E//=2p/r3. Сила, действующая на электрон, F=eE=2pe/r3 = 2 10 –24 Н.
3. Тонкий стержень длиной L =20 см заряжен равномерно зарядом q=10 –9 Кл. Определить напряженность электрического поля в т. А, находящейся на расстоянии r=10 см от центра стержня О (прямая АО перпендикулярна стержню). Исследовать зависимость напряженности от расстояния r для случаев r>>L и r<<L.
Решение.
Пусть X - точка на стержне с координатой х, отсчитываемой от центра вдоль стержня, θ – угол между прямыми АХ и АО. В силу симметрии относительно прямой АО напряженность поля на прямой АО направлена параллельно этой прямой, т.е. E=E//. Т.к. стержень заряжен равномерно, на отрезок длиной dx приходится заряд dq=qdx/L. Этот заряд создает в точке А составляющую поля dE//=(kdq/(r2+x2)cos θ= krdq/(r2+x2)3/2. Тогда
E=E//=(kqr/L) 
=(kqr/L)(L/r2/(r2+L2/4)1/2=(kq/r)/(r2+L2/4)1/2
При L=0.2 м, r = 0.1 м и q=10 –9 Кл E =636 В/м.
Если r<<L, то E=2kq/Lr, если r<<L, то E=kq/r2.
4. Сферический конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами радиусов R1 и R2 (R1 < R2). Внутренней сфере сообщают заряд q, а внешней – q. Определить напряженность электрического поля в конденсаторе в зависимости от расстояния r от общего центра сфер и построить график этой зависимости.
Решение
Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра сфер О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr2E(r). Если r> R2 или r< R1, то полный заряд внутри сферы равен нулю, если R1 < r< R2 то полный заряд равен q. Поэтому E(r)=kq/r2, если R1 < r< R2 и E(r)=0 при r> R2 или r< R1.
5. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить напряженность электрического поля в зависимости от расстояния r от центра шара и построить график этой зависимости.
Решение
Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr2E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR3/3)ρ,и E(r)=kq/r2, если r> R. Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr3/3)ρ, и E(r)=kqr/R3.
6. Сфера радиуса R равномерно по поверхности заряжена зарядом q. Определить напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния r от центра шара и построить график этих зависимостей. Потенциал бесконечно удаленнойточки принять равным нулю.
Решение
Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr2E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q. Тогда E(r)=kq/r2, φ(r)= kq/r,если r> R. Если r< R, то заряд внутри сферы q=0, и E(r)=0, φ(r)= kq/R= const.
7. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить разность потенциалов между точкой О в центре шара и точкой А на расстоянии 2 R от центра.
Решение
Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr2E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR3/3)ρ,и E(r)=kq/r2, φ(r)= kq/r. Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr3/3)ρ, и E(r)=kqr/R3, φ(r)= kq/R + 
. Потенциал в центре шара φ(0)= 3kq/2R, потенциал в точке А φ(2R)= kq/2R. Разность потенциалов φ(0)- φ(2R)= kq/R.
8. Три одинаковых точечных заряда (масса каждого m, заряд q) удерживаются в вершинах правильного треугольника со стороной a. Определить скорости этих зарядов после того, как их отпустят, и они разлетятся на большое расстояние друг от друга.
Решение
В силу симметрии заряды приобретут одинаковые скорости v, их полная кинетическая энергия будет 3mv2/2. В начальном состоянии потенциальная энергия взаимодействия каждой пары зарядов составляет q2/a, потенциальная энергия взаимодействия каждого заряда с двумя другими составляет 2 q2/a, потенциальная энергия взаимодеиствия всех зарядов друг с другом 3( 2 q2/a)=6 q2/a. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, т.е. 3mv2/2=6 q2/a, откуда
Проводники в электрическом поле.
9. В точке на границе раздела стекла и воздуха напряженность поля в воздухе составляет E0=10 В/м, а угол между вектором напряженности и нормалью к поверхности составляет α=30˚. Определить вблизи той же точки напряженность поля в стекле и поверхностную плотность поляризационных зарядов. Диэлектрическая проницаемость стекла ε.
Решение.
Пусть Е1 – напряженность элекрического поля в стекле, β - угол между направлением вектора напряженности в стекле и нормалью. Тангенциальная составляющая напряженности в воздухе Et1 = E0sinα, в стекле – Et2=E1sinβ. Нормальная составляющая вектора индукции в воздухе Dn1 = ε0E0cosα, в стекле Dn2 = εε0E1 cosβ. Условия непрерывности тангенциальной составляющей напряженности и нормальной составляющей индукции на границе раздела:
E0sinα= E1sinβ
ε0E0cosα= εε0E1 cosβ
Разделив первое из уравнений на второе, получим
tgβ=εtgα.
Из первого уравнения найдем
Е1=Е0 sinα/sinβ
