Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Использование таблиц интегралов.
Методические рекомендации
В предыдущих разделах мы изучали производную функции и ее приложения к решению практических задач.
В этом разделе рассматривается второе основное понятие математического анализа понятие интеграла. Интегрирование действие, обратное нахождению производной. Важно усвоить основные формулы интегрирования и методы интегрирования, т.к. понятие интеграла пронизывает не только всю современную математику, но и физику, химию и многие общетехнические и специальные дисциплины.
Литература: /2, глава 6 §1-6/, или /4, глава 7 §1-6/,или /5(ч.1), глава 9/.
Вопросы для подготовки к экзамену:
1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
2. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.
3. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
4. Правильные и неправильные рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование дробно-рациональных функций.
5. Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы вида: 
6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. Тригонометрические подстановки.
Тема 9. Определенный интеграл. Приложения
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Несобственные интегралы.
Методические рекомендации
К понятию определенного интеграла приводит задача вычисления площади криволинейной трапеции. Важное значение имеет формула Ньютона-Лейбница. Эта формула устанавливает связь между двумя основными понятиями интегрального исчисления: неопределенным и определенным интегралами. Она позволяет вычислять определенные интегралы путем нахождения первообразных.
Геометрические приложения определенного интеграла многочисленны. Это вычисление: площадей плоских фигур, объема тел вращения, длин дуг.
Многие задачи механики, например, вычисление давления жидкости на пластину; вычисление работы переменной силы на прямолинейном отрезке пути; вычисление работы по выкачиванию жидкости из резервуара можно решить, используя методы интегрирования.
Литература: /2, глава 6 §7-11/, или /4, глава 8 §1-11/, или /5(ч.1), глава 10/.
Вопросы для подготовки к экзамену:
1. Геометрический смысл определенного интеграла.
2. Основные свойства определенного интеграла.
3. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Замена переменной в определенном интеграле.
5.Формула интегрирования по частям для определенного интеграл.
6. Несобственные интегралы (случай бесконечных пределов интегрирования).
7. Несобственные интегралы (интегралы от разрывных функций).
8. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
9. Вычисление площади под кривой, заданной параметрически.
10. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.
11. Вычисление длин дуг плоских кривых.
12. Вычисление объемов тел вращения.
13. Вычисление площади поверхности тел вращения
