Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
, (11.5)
называется алгебраической линией второго порядка.
Для квадратичной формы можно задать матрицу
. (11.6)
Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).
Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат — совпасть с вершиной параболы.
Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:
(в предположении, что λ1,2 не равны 0).
Зададим последующий параллельный перенос формулами:
. Получим в новой координатной системе уравнение
. (11.7)
Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и:
1) если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:
, где
(случаи и, имеющего знак, противоположный знаку λ1, λ2, будут рассмотрены в следующей лекции).
2) если λ1 и λ2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:
или, в зависимости от знака.
В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:
, (11.8)
являющимся каноническим уравнением параболы.
Пример.
Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка
3x² + 10xy +3y² - 2x — 14y — 13 = 0.
Матрица квадратичной формы 3x² + 10xy + 3y² имеет вид:
Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: Для координат собственного вектора е1, соответствующегоλ1, получим с учетом нормировки:
, откуда e1 = {}. Аналогично найдем е2:,
e2 = {}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов:. Тогда
. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ1 и λ2.
Преобразуем полученное уравнение:
Зададим параллельный перенос формулами:. Получим уравнение:, а после деления на 8:
- каноническое уравнение гиперболы.
15.
16.
17.
18.
19.