Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду




Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

 

, (11.5)

 

называется алгебраической линией второго порядка.

 

Для квадратичной формы можно задать матрицу

 

. (11.6)

 

Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат — совпасть с вершиной параболы.

Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

(в предположении, что λ1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

. Получим в новой координатной системе уравнение

 

. (11.7)

 

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и:

1) если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

, где

(случаи и, имеющего знак, противоположный знаку λ1, λ2, будут рассмотрены в следующей лекции).

2) если λ1 и λ2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

или, в зависимости от знака.

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

, (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

3x² + 10xy +3y² - 2x — 14y — 13 = 0.

Матрица квадратичной формы 3x² + 10xy + 3y² имеет вид:

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: Для координат собственного вектора е1, соответствующегоλ1, получим с учетом нормировки:

, откуда e1 = {}. Аналогично найдем е2:,

e2 = {}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов:. Тогда

. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ1 и λ2.

Преобразуем полученное уравнение:

Зададим параллельный перенос формулами:. Получим уравнение:, а после деления на 8:

- каноническое уравнение гиперболы.

15.

16.

17.

18.

19.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-10-27; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 456 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Стремитесь не к успеху, а к ценностям, которые он дает © Альберт Эйнштейн
==> читать все изречения...

2176 - | 2136 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.