Метод преобразования (свертывания) цепей

При наличии в цепи только одного источника э.д.с. внешнюю по отношению к источнику, часть электрической цепи можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов. Расчет таких цепей проводят путем преобразования цепи до эквивалентного сопротивления. Определяют ток в ветви с источником э.д.с., а затем, используя закон Ома, рассчитывают токи в остальных ветвях.

ПРИМЕР 1.2.1. (свертывание)

Дано: В; Ом; Ом; Ом; Ом;

Ом.

Определить: , , , , .

Решение: Резисторы и соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление Ом

Резисторы и последовательны, находим их эквивалентное сопротивление Ом.

и параллельны, их общее сопротивление Ом.

Определяем ток : А.

По закону Ома рассчитаем напряжение : , тогда А.

Ток можно определить по I закону Кирхгофа: А.

Для определения токов и найдем по закону Ома : , тогда А; А.

Напряжение можно не находить, подставив в формулы для нахождения и значения .

А, А.

1.2.1. Дано: В; Ом; Ом; Ом.

Определить токи в сопротивлениях.

1.2.2. Дано: В; Ом; Ом; Ом; Ом.

Определить токи в сопротивлениях.

1.2.3. Дано: A; Ом; Ом; Ом.

Определить токи в сопротивлениях.

1.2.4. Дано: В; Ом; Ом; Ом; Ом

Определить токи в ветвях.

1.2.5. Дано: В; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом;

Определить распределение токов в схеме.

1.2.6. Дано: А; Ом; Ом; Ом; Ом.

Определить токи в ветвях.

1.2.7. Дано: В; Ом; Ом; Ом; Ом.

Определить напряжение .

Закон Ома для активного участка цепи

Закон Ома для активного участка цепи между точками а и в имеет вид:

На основании второго закона Кирхгофа напряжение участка цепи и ЭДС берутся со знаком «+», если их направление совпадает с направление тока, и со знаком «-», если они направлены противоположно току.

ПРИМЕР 1.3.1

Дано: В; В; В; Ом; Ом.

Определить

(А).

ЗАДАЧИ

1.3.1. Дано: Ом; Ом; В; A.

Определить .

1.3.2. Дано: Ом; Ом; Ом; Вт.

Определить .

1.3.3. Дано: Ом; Ом; В; А.

Определить , .

1.3.4. Дано: Ом. Показания амперметров: А; A.

Определить .

1.3.5. Дано: Ом; Ом; В; В; В; В.

Определить ток в цепи.

1.3.6. Дано: Ом; Ом; В; В; В; A.

Определить .

1.3.7. Дано: B; Ом; Ом; В; В; В; В

Определить ток в цепи.

1.3.8.Дано: Ом; Ом; В; В; В; А

Определить по закону Ома для участка цепи.

1.3.9. Дано: B; B; Ом; .

Определить ; ; ; .

1.3.10. Дано: Ом; Ом; вольтметр при замкнутом ключе показывает 60 В, при разомкнутом – 80 В.

Определить .

1.3.11. Дано: Потребляемая мощность кВт; B; Ом; Ом.

Определить токи , и мощности , .

1.3.12. Дано: Ом; Ом; В; В; В; А.

Определить .

1.3.13. Дано: Ом; Ом; В; В.

Определить напряжение между точками а и в.

1.3.14. Дано: Ом; A; B

Определить .

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Ток, подходящий к узлу, берется со знаком «+», отходящий от узла, - со знаком «-».

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

В каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком «+», если их направления совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «-», если их направления не совпадают с ним.

Для составления уравнений по законам Кирхгофа необходимо: выбрать произвольно направления токов в ветвях и выбрать положительные направления обхода контуров.

Количество уравнений определяется количеством неизвестных токов.

Число уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов:

По второму закону Кирхгофа составляется недостающее число уравнений, равное числу независимых контуров или ветвей без источников тока () за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону:

При составлении уравнений по второму закону независимые контуры выбираются так, чтобы в каждый из них входила новая ветвь, исключая ветви с источниками тока.

ПРИМЕР 1.4.1.

Дано:

Cоставить уравнения по законам Кирхгофа для определения неизвестных токов.

Решение:

Произвольно выбираем направление токов в ветвях и направление обхода контуров. В схеме шесть ветвей. Необходимо составить систему из уравнений.

По первому закону составляем уравнения.

Для узла 1: .

Для узла 2: .

Для узла 3: .

Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа:

ПРИМЕР 1.4.2

Дано:

Составить уравнения по законам Кирхгофа и определить токи в ветвях.

По первому закону составляем уравнения.

Для узла 1: .

Для узла 2:

Для узла 3: .

Для узла 4:

Недостающие пять уравнений составляем по второму закону Кирхгофа для явно выраженных контуров:

Запишем эти уравнения в виде удобном для записи их в матричной форме

Матричная форма записи системы уравнений: R×I=E.

Порядок решения заданной системы уравнений:

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Введите матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.

3. Вычислите решение системы по формуле

4. Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.

5. Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений.

Ниже приведен фрагмент решения этой системы уравнений в программе Mathcad.

Зададим матрицу системы и матрицу - столбец правой части.

Надо найти матрицу - столбец неизвестных токов

Вычислим решение системы по формуле :

Где: ; ; ; ; ; ; ; ; .

Решим систему с помощью функции lsolve и сравним результат с решением

Заданная система уравнений решена правильно.

1.4.1.Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов.

Определить .

1.4.2. Дано: Ом; Ом; В.

Определить , , указать режим работы данной цепи.

Определить .

1.4.3. Дано: Ом; В.

Определить показания вольтметра, указать режим работы данной цепи.

Определить .

1.4.4. Дано: А; А; А.

Определить , указать режим работы данной цепи.

Определить .

1.4.5. Дано: Ом; Ом; В; В.

Определить показания вольтметра.

Определить токи , если мА; В; кОм; В; В.

1.4.6. Определить .

Определить мощность, отдаваемую источником тока.

1.4.7. Определить .

Определить .

Баланс мощностей

В любой электрической цепи должен соблюдаться энергетический баланс – баланс мощностей: алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии равна арифметической сумме мощностей всех приемников энергии:

Мощность источника ЭДС положительна, если ток в ветви с источником совпадает по направлению с ЭДС, такой источник является генератором.

Мощность источника ЭДС отрицательна, если ток в ветви с источником направлен противоположно ЭДС, в этом случае источник потребляет энергию.

При определении мощности источника тока напряжение берется как разность потенциалов между узлом, к которому подходит ток источника и узлом, от которого он отходит.

Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет неизвестный контурный ток, а источники тока создают известные контурные токи. Относительно неизвестных контурных токов составляют систему уравнений вида:

где - контурные токи;

- собственные сопротивления контуров;

- сопротивления смежной ветви между контурами.

Сопротивление смежной ветви между «k» и «m» контурами () входит в уравнение со знаком «+», если направления контурных токов и вдоль этой ветви одинаковы, и со знаком «-», если их направления противоположны.

- контурные ЭДС, равные алгебраической сумме э.д.с. этого контура. В них со знаком «+» входят те ЭДС, направления которых совпадают с обходом контура.

Токи в ветвях находят как суперпозицию контурных токов.

Если схема содержит не только источники ЭДС., но и источники тока, то полагают, что ток источника тока замыкается по любым ветвям так, что вместе с ветвью источника создается замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

ПРИМЕР 1.6.1

Дано: В; А; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом.

Определить токи в ветвях методом контурных токов

Решение:

В схеме 6 ветвей, 4 узла, 1 источник тока. Число уравнений, которые необходимо составить методом контурных токов: .

Задаем направление контурных токов и , полагая, что ток источника тока замыкается по резисторам и .

Составляем систему уравнений:

Подставляем числовые значения:

Решая эти уравнения, находим контурные токи:

А,

А.

Искомые токи: A;

А;

А.

Составим уравнение баланса мощностей:

Вт,

Вт.

, пусть , тогда В.

1.6.1. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; Ом; Ом; Ом; В; А.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1.6.2. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; Ом; Ом; В; А.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1.6.3. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; Ом; В; В; В; А.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1.6.4. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; В; В; В; В; А.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1.6.5. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; Ом; В; В; А.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1.6.6. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; А; Ом; В; В.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1.6.7. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.

Дано: Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; В; В; В; А; А.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциалов вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с точки, потенциал которой принимают равным нулю, по оси ординат - потенциалы. Каждой точке рассматриваемого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.

ПРИМЕР 1.7.1.

Дано: Ом; Ом; Ом; Ом; В; В; А; А; А.

Построить потенциальную диаграмму для контура авсdа.

Решение: Подсчитаем суммарное сопротивление контура авсdа Ом и выберем масштабы по оси ординат. Точку а помещаем в начало координат. Определяем потенциалы в, с, d и их координаты.

Принимаем . Токораспределение в схеме при заземлении одной точки не изменится, т.к. никаких новых ветвей при этом не образуется.

В, ;

В, .

Метод узловых потенциалов

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в этом методе равно числу узлов минус один.

Потенциал одного узла схемы принимают равным нулю, для остальных составляют систему уравнений вида

где - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле к;

- сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы к и m, взятая со знаком «-»;

- узловой ток узла к. Находится как алгебраическая сумма токов короткого замыкания всех ветвей, сходящихся в узле к. С плюсом берутся те токи, источники которых направлены к узлу к.

Если между двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю.

После решения системы относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома.

ПРИМЕР 1.8.1.

Дано: Ом; Ом; Ом; Ом; В; В; В; А.

Определить токи методом узловых потенциалов

Решение:

Примем потенциал узла 4 равным нулю: , тогда потенциал В.

Составим уравнения для узлов 1 и 2 (при этом учтем, что проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2, ):

Подставляем числовые значения:

В;

Токи в ветвях находим по закону Ома:

А;

А.

Ток находим по первому закону Кирхгофа, примененному к узлам 3 или 4: А или А.

ЗАДАЧИ

1.8.1. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.

б) Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; В; В; В; В.

Дано: Ом; Ом; В; В; А.

Определить токи методом узловых потенциалов. Построить потенциальную диаграмму для контура 1‑2‑3‑4‑1.

1.8.2. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.

б) Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; В; В; В; В. Построить потенциальную диаграмму для контура 1-2-3-4-5-6.