x1,x2,..., xn,... . |xn-A|<e A- e < xn < A + e, , xn e - A (.13). e - .
.
. { xn } , , { xn − a } .
{ xn → a } a, : lim n →∞ xn = a xn → a n →∞
. { xn } , a, ε N (ε) , n > N xn ∣ xn − a ∣<ε
a .
(5) −ε< xn − a <+ε , a −ε< xn < a +ε. (5')
. { xn } , a, ε- a { xn } ( ε).
1. .
. , b { xn }. xn = a + an xn = b + bn, { an } { bn } - . an − bn = b − a. { an − bn } , an − bn = b − a b − a. b − a , . . b = a. .
2. .
. { xn } - a . ε, N , ∣ xn − a ∣<ε n ≥ N , a −ε< xn < a +ε n ≥ N. A (N +1) : ∣ a −ε∣,∣ a +ε∣,∣ ∣ x 1∣ ∣,∣ ∣ x 2∣ ∣,...,∣ ∣ N −1∣ ∣. , , ∣ xn ∣≤ A n, { xn }. .
1. . , , . 0,1,0,1,...,0,1,... , .
|
|
, n - xn , a. { xn +1− a } { xn − a } . , { xn +1− xn } , ∣ ∣ xn +1− xn ∣ ∣ =1 n.
{ an } , ε N (ε) , n > N an ∣ an ∣<ε.
3. {xn} {yn} , {xn} {yn}.
. , { xn } { yn } b . xn = a + an
xn = a + an, yn = b + bn, (6),
an bn { an } { bn }. (6) , (xn + yn)−(a − b)= an + bn. (7)
.. { an + bn } { an } { bn } , (7) , { xn + yn } a + b . .
4. {xn} {yn} , {xn} {yn}
3, (7) (xn − yn)−(a − b)= an − bn.
5. {xn} {yn} , {xn} {yn}.
. , { xn } { yn } a b . (6), ,
xn yn = a b + abn + ban + an bn , xnyn − a b = abn + ban + an bn (8)
1. {yn} b, , , {1yn} {\{}1{\}} {yn}, .
6. {xn} {yn}, , , , , {xn} {yn}.
. , { xn } { yn } a b . 1 N , n > N yn e , {1 yn } . N,
{ ynxn }. , { ynxn − ba } . ynxn − ba = yn bxn b − yn a (9)
|
|
.. xn yn (6),
n b − yn a =(a + an) bn −(b + bn) an = anb − bna
(10) (9), ynxn − ba =1 yn (an − babn) (11)
, (11) , , {1 yn } ( 1) , { an − babn } ( ) . .
.
. {xn} - , . {xn} - , .
.
{xn} = .
{xn} , .
:
,
, {xn} . , xn+1 xn:
xn+1 xn, , , xn+1 . , {xn} .
, n : xn < 3.
, - , .. . .
, £ 3. {xn} , , :
,
, 2,5 3. , .
, 2,71828
3) ...: , ,
) . { x n} , " M >0 $ N Îℕ ,
| x n | > M, " n>N.
)
{ x n} , , e- ¥ , .
)
1) { x n} .., {1/ x n} ..
{an} ., {1/an} ..
( )
2) { x n} { y n} .. , { x n + y n } .. .
3) { x n} .., { y n} , { x n + y n} .. .
4) { x n} { y n} .., { x n × y n} .. .
5) { x n} .., { y n} ,
{ x n × y n} .. .
. { x n} , K > 0 N , | x n | > K, " n>N.
6) { x n} , { y n} .., { x n × y n} .. .
7) { x n} .. n Îℕ
| x n | < | y n | (| x n | £ | y n |),
{ y n} ..
8) { x n} { y n} .. n Îℕ x n £ z n £ y n.
{ z n} .. .
( .. )
4.) ( , , ) .
|
|