Доказательство:
Докажем вначале теорему для случая последовательности 
По формуле бинома Ньютона: 
Полагая 
получим 
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 
убывает, поэтому величины 
возрастают. Поэтому последовательность 
возрастающая, при этом 
(2)*Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство 
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: 
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: 
Поэтому 
(3)*
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом 
выполняются неравенства (2) и (3): 
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность 
монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. 
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что 
. Рассмотрим два случая:
1. Пусть 
Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: 
,где 
— это целая часть x. => 
=>
Если 
,то 
Поэтому, согласно пределу 
Имеем
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 
2. Пусть 
. Сделаем подстановку − x = t, тогда
Из двух этих случаев вытекает, что 
для вещественного x.
Следствия:
9 .) Сравнение бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о главной части бесконечно малых.
Пусть функции a(x) и b(x) – б.м. при x ® x 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) a(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем b (x) если
Записывают: a(x) = o(b(x)).
2) a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если
где С Îℝ и C ¹ 0.
Записывают: a(x) = O (b(x)).
3) a(x) и b(x) называются эквивалентными, если
Записывают: a(x) ~ b(x).
4) a(x) называется бесконечно малой порядка k относи-
тельно бесконечно малой b(x), если бесконечно малые a(x) и (b(x))k имеют один порядок, т.е. если
где С Îℝ и C ¹ 0.
ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).
Пусть a(x), b(x), a1(x), b1(x) – б.м. при x ® x 0. Если a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x),
то 
Доказательство: Пусть a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x), тогда
= 
ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).
Пусть a(x) и b(x) – б.м. при x ® x 0, причем b(x) – б.м. более высокого порядка чем a(x).
= 
, a так как b(x)– более высокого порядка чем a(x),то 
, т.е. 
из ясно, что a(x) + b(x) ~ a(x)
10) Непрерывность функции в точке(на языке пределов эпсилон-дельта,геометрическое) Односторонняя непрерывность. Непрерывность на интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.
1. Основные определения
Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки x 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 если справедливо равенство
Замечания.
1) В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде
Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов.
2) Равенство (1) можно также записать в виде:
Говорят: «если функция непрерывна в точке x 0, то знак предела и функцию можно поменять местами».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке e-d).
Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 если "e>0 $d>0 такое, что
если x ÎU(x 0, d) (т.е. | x – x 0 | < d),
то f (x)ÎU(f (x 0), e) (т.е. | f (x) – f (x 0) | < e).
Пусть x, x 0 Î D (f) (x 0 – фиксированная, x – произвольная)
Обозначим: D x = x – x 0 – приращение аргумента
D f (x 0) = f (x) – f (x 0) – приращение функции в точкеx 0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).
Функция f (x) на зывается непрерывной в точке x 0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
Пусть функция f (x) определена на промежутке [ x 0; x 0 + d) (на промежутке (x 0 – d; x 0]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если справедливо равенство
Очевидно, что f (x) непрерывна в точке x 0 Û f (x) непрерывна в точке x 0 справа и слева.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x) называется непрерывной на интервал е (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a; b ] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).
11) Точки разрыва, их классификация
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x 0, но не является непрерывной в этой точке, то f (x) называют разрывной в точке x 0, а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f (x).
Замечания.
1) f (x) может быть определена в неполной окрестности точки x 0.
Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции.
2) Из определения Þ точка x 0 является точкой разрыва функции f (x) в двух случаях:
а) U(x 0, d)Î D (f), но для f (x) не выполняется равенство
б) U*(x 0, d)Î D (f).
Для элементарных функций возможен только случай б).
Пусть x 0 – точка разрыва функции f (x).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода если функция f (x) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа.
Если при этом эти пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва, в противном случае – точкой скачка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f (x) в этой точке равен ¥ или не существует.
12) Свойства функций, непрерывных на отрезке [a,b](теоремы Вейерштрасса(без док-ва) и Коши
Теорема Вейерштрасса
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда
1)f(x)ограничена на [a,b]
2)f(x) принимает на промежутке [a,b] своё наименьшее и наибольшее значение
Определение: Значение функции m=f[x1]зовется наименьшим, если m≤f(x) для любого x€ D(f).
Значение функции m=f[x2]зовется наибольшим, если m≥f(x) для любого x€ D(f).
Наименьшее\наибольшее значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.
f(x3)=f(x4)=max
Теорема Коши.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и х – число, заключенное между f(a) и f(b),тогда существует хотя бы одна точка х0€[a,b] такая, что f(x0)= g
Доказательство:
Для определенности допустим, что f(a)<f(b)
Промежуток [a,b] поделим пополам точкой с на отрезки [a,c]и [c,b]
Если f(c)= g, то х0= с
Если f(c)> g, то х0€ [a,c]
Если f(c)< g, то х0€ [c,b]
Если f(x)< g то поставим в соответствии точки х знак «+»
Если f(x)> g то поставим в соответствии точки х знак «-», тогда концы отрезка [a,b] имеют разные знаки 
После деления отрезка ab выберем ту часть отрезка, где знаки разные и обозначим его как [a1,b1], тогда f(a1)< g<f(b1).Отрезок a1b1 разобьем пополам и выберем из двух частей отрезка тот, на левом конце которого значение меньше, чем g, а на правом - больше и обозначим как a2b2 и т.д.
Продолжая данный процесс неограниченно, получаем последовательность вложенных отрезков.
Поскольку отрезки вложены друг в друга и стягиваются, то существует х0, которое принадлежит всем отрезкам одновременно.
Докажем, что f(x0)= g:
Рассмотрим 2 последовательности: {an} –возрастающая и ограниченная; {bn} - убывающая и ограниченная, значит они имеют предел => 
{f(an)} {f(bn)}
f(an)< g<f(bn),для любого n, тогда 
с учетом того, что 
f 
=f(x0)
имеем: f(x0)≤ g≤f(x0), т.е. g=f(x0)
