СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши и Вейерштрасса)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b].

 

Упражнения

1.) Доказать, что последовательность может иметь не более одного предела.

Пусть lim_n®¥x_n = A₁ и lim_{n® ¥}x_n = A₂, A₁¹ A₂, тогда выберем e - окрестности точек A₁, A₂, так чтобы они не пересекались. В качестве e можно взять число e = 1/2|A₁-A₂|. По определению предела $ N₁,N₂, что при n>N₁ x_nÎU(A₁), а при n>N₂ x_nÎ U(A₂). Следовательно, при n> max{N₁,N₂} x_nÎ U(A₁)ÇU(A₂), что невозможно, так как U(A₁)Ç U(A₂) = Æ.

2.) Доказать, что .

 

= a, = b, c_n=x_n+y_n

 

=c и c=a+b (т.е. что он существует и равен сумме пределов)

 

= a, значит x_n=а+б.м.1

b, значит y_n=b+б.м.2

c_n=x_n+y_n=a+b+б.м.3 (сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малое)

следовательно c_n имеет придел и он равен сумме пределов.

3) Доказать, что произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности есть бесконечно малая последовательность.

{x_n}-б.м.п.

{y_n}-ограниченная последовательность

$M>0 такое, что "n выполняется | y_n |≤M и для " ε/M>0, $N такой, что для всех n≥N выполняется |x_n*y_n|=|x_n|*|y_n|< (ε/M)*M= ε=> произведение {x_n}*{y_n} – бесконечно малая последовательность.

4.) Доказать, что если все члены последовательности неотрицательны (положительны), то ее предел – неотрицательный.

Т.к. предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, то последовательность предел последовательности u_x можно расписать так: lim(u₁ + u₂+... + u_k) = lim u₁+lim u₂ +... +lim u_k

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится также. Пусть lim u₁ =a₁ и lim u₂ = a₂. Тогда на основе теоремы (если функция f(x) представлена в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой y=b+ , то lim y =b(при х->a;x->∞))

u₁ =a₁+α₁ , u₂ =a₂+α₂ , гдеα₁ и α₂ –бесконечно малые,

значит u₁+ u₂=(a₁+ a₂) +(α₁+α₂)

т.к. (a₁+ a₂)- величина постоянная, а (α₁+α₂) – бесконечно малая, то можем заключить согласно теореме(если функция f(x) представлена в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой y=b+ , то lim y =b(при х->a;x->∞)), что

lim(u₁+ u₂ )=a₁+ a₂ = lim u₁+ lim u₂

А т.к. для любого х, элемент u_x>0,то и соответственно их сумма будет положительной

 

5) Доказать, что если сходящиеся последовательности{x _n } и {y _n } удовлетворяют условию x _n ≥y _n, то ≥

Пусть x _n ≥0, ),тогда имеем ≥0.

Допустим, что b <0, но тогда имеем |x _n - ≥| |.

Т.е. |x _n - b| не стремится к 0 при n->∞тогда и x _n не стремится к b при n->∞,значит b≥0

Таким же образом имеем для y _n≥0

А потом и для x _n и y _n≤0

Зная, что x _n ≥y _n то (x _n -y _n)>0,то и >0

=> 0

≤

6) Доказать лемму о двух милиционерах.

Если u≤z≤v, и = b; =b, то

Доказательство: из u≤z≤v следует, что u-b ≤z-b ≤ v-b, из условия = b; =b, следует, что при " ε найдется некоторая окрестность в точку а, в которой будет выполняться неравенство|u-b|< ε, так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет соблюдаться неравенство|v-b|< ε

В меньшей из указанных окрестностях будут выполняться неравенства:

– ε<u-b< ε

– ε<v-b< ε=>будут выполняться неравенства – ε<u-b< ε=>

 

 

7) Доказать, что сумма 2х бесконечно больших последовательностей одного знака является б.б.п. того же знака.

Пусть {x _n } и {y _n } – бесконечно большие последовательности одного знака,тогда

{x _n }: "А>0, $N₁€ множеству натуральных чисел такое, что "n>N₁, |x_n|>A

{y _n }: "А>0, $N₂€ множеству натуральных чисел такое, что "n>N₂, |y_n|>A

Возьмем N=max(N₁,N₂)

Тогда "n>N имеем: |x_n+y_n|≤|x_n| ₊ |y_n|>2A, "A>0,

Т.к. sgn x_n≤sgn y_n, где sgn x =

8) Доказать, что сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей является б.б.п.

Пусть

{a_n}-б.б.п. тогда $ М>>0, $N€ множеству натуральных чисел такие, что |а_n|>>M, "n>N, имеем |a_n|> М

{b_n} – ограниченная последовательность: $М₁>0, |b_n|≤M₁, "n € множеству натуральных чисел.

M>>M₁

Возьмем -|b_n|≥-M

Тогда |а_n|-|b_n|> М₁ -M; " n >0 т.к. |c_n|= |а_n|-|b_n| >(М₁ –M)>>0

Так как выражение верно для "n>N, где N€ множеству натуральных чисел, то |c_n|-б.б.п.

9) Доказать,что произведение 2х б.б.п. является б.б.п.

Т.к. {a_n}-б.б.п. тогда $ М₁>>0, $N€ множеству натуральных чисел такие, что |а_n|>>M₁, "n>N, имеем |a_n|> М₁

Т.к. {b_n}-б.б.п. тогда $ М₂>>0, $N€ множеству натуральных чисел такие, что |b_n|>>M₂, "n>N, имеем |b_n|> М₂

Тогда |c_n|=|а_n|*|b_n|> М₁* М₂>>0, "n>N, где N€ множеству натуральных чисел

10) Доказать что произведение б.б.п. и отделимой от нуля ограниченной последовательности является б.б.п.

Пусть

{a_n}-б.б.п. тогда $ М>>0, $N€ множеству натуральных чисел такие, что |а_n|>>M, "n>N, имеем |a_n|> М

{b_n} – ограниченная последовательность: $М₁>0, |b_n|≤M₁, "n € множеству натуральных чисел.

M>>M₁

Тогда |а_n|*|b_n|> М₁ *M; " n >0 т.к. |c_n|= |а_n|*|b_n| >(М₁ *M)>>0

Так как выражение верно для "n>N, где N€ множеству натуральных чисел, то |c_n|-б.б.п.

 

11) Уметь доказывать по определению, что ,где{x}-некоторая заданная сходящаяся последовательность

"ε >0 $ N_(ε) такое, "n>N выполняется |x_n-A|< ε

- ε<x_n-A< ε

A- ε<x_n< ε+A

X_n->A

12 ) Уметь доказывать по определению, что ,где{x}-некоторая заданная бесконечно большая последовательность

Пусть М>>0, тогда $N€ множеству натуральных чисел такие, что |xn|>M, "n>N, т.е. все члены последовательности за исключением,может быть, конечного их числа находятся в ε-окрестности точки∞

13) Уметь доказывать по определению, что ,гдеf(x)-некоторая заданна функция

"ε >0, $δ_(ε)>0 такое, что при х, удовлетворяющему неравенству 0<|x-x₀|<δ

Выполняется |f(x)-А|<ε

14) Уметь доказывать по определению, что ,гдеf(x)-некоторая заданна функция

Пусть М>>0, тогда существуют N€ множеству натуральных чисел такие, что f(x)>M, "n>N, т.е. все члены функции находятся в ε-окрестности точки ∞

16.) Доказать, что сумма двух бесконечно больших функций одного знака является бесконечно большой того же знака.

Пусть даны f(x) и g(x) – бесконечно большие функции. Тогда пусть φ(x)- их сумма, т.е.

φ(х)= f(x) + g(x). Из этого равенства следует что |φ(х)|>|f(x)| и |φ(х)|>|g(x)|. Тогда

и т.к. и

. Отсюда можем сказать что φ(х)- бесконечно большая функция. Ч.т.д.

 

18.) Доказать, что произведение двух бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией.

 

Пусть даны f(x) и g(x) – бесконечно большие функции. Тогда пусть φ(x)- их произведение, т.е.

φ(х)= f(x) * g(x). Из этого равенства следует что |φ(х)|>|f(x)| и |φ(х)|>|g(x)|. Тогда

и т.к. и

. Отсюда можем сказать что φ(х)- бесконечно большая функция. Ч.т.д.

19.) Доказать следствия первого замечательного предела.

20.) Доказать следствия второго замечательного предела.