Ряды Фурье для четных и нечетных функций

В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций.

Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.

I. Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.

II. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная

III. Если – четная функция, то .

IV. Если – нечетная функция, то .

Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию .

Так как – функция четная, а – функция нечетная, то произведение будет функцией четной, а – функцией нечетной (свойства I и II). На основании свойств III и IV получим

,

,

.

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид

.

Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то вследствие свойств I и II произведение будет функцией нечетной, а – функцией четной. Поэтому

,

.

Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид

.

Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.

§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций

Пусть функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет период , т.е. .

В случае функции , имеющей период , коэффициенты Эйлера-Фурье вычисляются по формулам:

, , (2)

(8)

В точках разрыва функции и в концах интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале .

В случае разложения функции в ряд Фурье в произвольном интервале длины пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить соответственно на и .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2, заданную на отрезке уравнением .

Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками и .

Так как – четная функция, то и будет четной функцией. Здесь , поэтому

,

.

Интегрируя дважды по частям, получим.

1) .

.

2) .

.

Так как рассматриваемая функция – четная, то . Следовательно,

.●

Если функция задана на отрезке , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на отрезке произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках сегмента находилась из условия или . В первом случае функция на сегменте будет четной, а во втором – нечетной. При этом часто говорят, что функция в интервале разложена в ряд Фурье по синусам или косинусам кратных дуг.

Пример. Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд по синусам.

Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо ее продолжить на интервал нечетным образом, затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось.

;

Здесь надо принять l = 1 и = 1. Тогда

Итак, ряд Фурье для данной функции имеет вид

.●