Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится,

2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.

Замечание. Признаки сравнения применимы и в том случае, когда условие выполняется не при всех n, а лишь начиная с некоторого n = N.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Оценим общий член данного ряда: . Ряд с общим членом сходится (геометрический ряд). По теореме 1(п.1) данный ряд также сходится.●

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд

,

который расходится (см. пример 3, §4). Так как

,

то по теореме 1(п.2) данный ряд также расходится. ●

Теорема 2 (второй признак сравнения рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов: , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Смысл этого признака состоит в том, что если общий член ряда (1) и общий член ряда (2) являются бесконечномалыми одного и того же порядка (при ), то сходимость одного из этих рядов влечет сходимость другого (а значит, и, наоборот, расходимость одного влечет расходимость другого).

При исследовании сходимости рядов с помощью признаков сравнения необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов часто используют геометрический ряд, а также

– обобщенный гармонический ряд,

который сходится при и расходится при . Это будет доказано ниже.

При получается

– гармонический ряд.

Пример 1. Исследуем сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который сходится.

Вычисляем . Значит, по теореме 2 данный ряд сходится. ●

Пример 2. Исследуем сходимость ряда

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который расходится.

Вычисляем . Значит, по теореме 2 данный ряд расходится. ●

Признак Даламбера

Теорема. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании п, т.е.

,

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Пример 1. Выясним, сходится ли ряд .

Решение. Имеем .

Вычисляем .

На основании признака Даламбера данный ряд сходится. ●

Пример 2. Исследуем сходимость ряда .

Решение. Имеем .

Вычисляем

На основании признака Даламбера данный ряд расходится. ●

Замечание. В тех случаях, когда или не существует, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о том, сходится или расходится ряд.

При этом ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае применяются другие признаки.

Пример. Исследуем сходимость ряда .

Решение. Имеем .

Вычисляем .

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда. По первому признаку сравнения: при всех значениях n, а ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный ряд сходится. ●

Радикальный признак Коши

Теорема. Если для знакоположительного ряда существует предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Пример. Выясним, сходится ли ряд .

Решение. Вычисляем

.

На основании радикального признака Коши ряд сходится. ●

Замечание. Если не существует или равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть дан знакоположительный ряд (1). Если существует положительная, непрерывная, монотонно убывающая на функция , такая, что , , … , … то

1) ряд (1) сходится,если интеграл сходится;

2) ряд (1) расходится,если интеграл расходится.

Пример 1. Исследуем сходимость ряда .

Решение. – непрерывная при функция, убывает с возрастанием х.

Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный ряд сходится. ●

Пример 2. Исследуем на сходимость ряд , где .

Решение. Рассмотрим . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы, рассмотренной выше. Вычислим

а) пусть , тогда при и интеграл

.

На основании интегрального признака Коши ряд расходится.

б) пусть , тогда

.

На основании интегрального признака Коши ряд расходится.

в) пусть , тогда при и интеграл

.

На основании интегрального признака Коши ряд сходится. ●

Знакочередующиеся ряды

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака. Ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный, называют знакочередующимся.

Обозначим – абсолютные величины членов ряда. Будем считать, что первый член ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

(1)

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2_ , то ряд сходится и его сумма .

Или: если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, и его сумма не превосходит членов ряда.

Пример. Исследуем, сходится или расходится ряд

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ,

2) .

Следовательно, ряд сходится.●