Глава 2. Функциональные ряды

Основные понятия

Определение. Выражение

, (1)

называется функциональным рядом относительно переменной х.

Придавая какое-либо значение из области определения функций , получим числовой ряд

(2)

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (1). Для одних точек, взятых из области определения функций , ряд может сходиться, а для других – расходиться.

Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Частичная сумма функционального ряда, т.е. сумма первых его членов

(3)

является функцией переменной .

Каждому значению из области сходимости соответствует определенное значение величины . Эту величину обозначают через и называют суммой функционального ряда. Итак, сумма функционального ряда есть некоторая функция переменной , определенная в области сходимости ряда.

В этом случае пишут

Если функциональный ряд сходится и имеет сумму , то, как и для числовых рядов величина

называется остатком функционального ряда.

В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости положительных рядов, считая фиксированным и заменяя исходный исследуемый ряд (1) рядом из его абсолютных величин.

Пример 1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Если , то ; так как , то ряд расходится. Если , то также получаем расходящийся ряд .

Если , то члены заданного ряда меньше членов геометрического ряда со знаменателем , т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости ряда определяется неравенством . Отсюда следует, что ряд сходится, если или .●

Равномерная сходимость

Рассмотрим функциональный ряд, сходящийся в некоторой области. Обозначим сумму ряда через , тогда для всех из области сходимости имеем

(1)

Говорят, что ряд сходится к функции (а также, что ряд определяет, или выражает, или представляет функцию ).

Определение. Сходящийся функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в некоторой области, если каждому сколь угодно малому числу соответствует такое целое положительное число , что -ый остаток при остается по абсолютной величине меньше , каково бы ни было в указанной области.

Если ряд сходится в интервале равномерно, то функцию – сумму ряда – можно приближенно представить при помощи одной и той же частичной суммы ряда

с одной и той же точностью во всех точках рассматриваемого интервала; эта точность характеризуется неравенством , справедливым при любом рассматриваемом , причем подбирается по заданному заранее .

Теорема. Сумма равномерно сходящегося в некоторой области ряда, составленного из непрерывных функций, есть функция, непрерывная в этой области.

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости). Пусть …, … – положительные числа. Если

а) в некоторой области …, …;

б) числовой ряд сходится,

то функциональный ряд в этой области сходится равномерно (и абсолютно).

Пример. Функциональный ряд

сходится равномерно для всех действительных , потому что при всех и

и обобщенный гармонический ряд с показателем сходится. ●

Как мы знаем, сумму конечного числа функций можно почленно дифференцировать и интегрировать. Эти свойства не всегда выполняются, если число слагаемых бесконечно, т.е. для рядов. Однако эти свойства сохраняются для равномерно сходящихся на сегменте функциональных рядов.

Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося на сегменте функционального ряда непрерывны на этом сегменте, то ряд можно почленно интегрировать.

Это значит, что если и любые две точки сегмента , то

+ + … + …

Теорема 2. Пусть ряд составлен из функций, обладающих непрерывными производными. Если ряд, составленный из производных от членов данного ряда, равномерно сходится в некоторой области, то его сумма есть производная от суммы данного ряда в этой области.

Итак, применимость действий анализа к бесконечному функциональному ряду обеспечивается свойством равномерной сходимости ряда.

Применимость арифметических действий к бесконечному ряду обеспечивается свойством абсолютной сходимости ряда

Теорема 3. Если равномерно сходящийся на сегменте ряд умножить на ограниченную функцию , то полученный ряд

будет равномерно сходящимся на сегменте .

Степенные ряды

Определение. Функциональный ряд вида

(1)

где не зависят от переменной z , называется степенным относительно переменной z рядом. Числа называются коэффициентами этого ряда.

Если переменная z может принимать комплексные (и в том числе действительные) значения, а коэффициенты ряда – комплексные числа, то степенной ряд называется комплексным.

Если значения z могут быть только действительными, а коэффициенты ряда – тоже действительные числа, то степенной ряд называется действительным.

При получим

(2)

Если положить , то ряд (2) принимает вид

(3)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором , то он сходится абсолютно при всех значениях z , для которых .

Наоборот, если ряд (1) расходится при , то он расходится при всех значениях z , длякоторых .

Теорема. Областью сходимости степенного ряда

является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев, могут быть добавлены концевые точки и . В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (3), число – радиусом сходимости.

Интервалом сходимости степенного ряда (2) является интервал с центром в точке длины .

Свойства степенных рядов

Пусть дан степенной ряд (1), – интервал сходимости этого ряда.

Теорема 1. Ряды, полученные из данного степенного ряда почленным его дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.

Теорема 2. Пусть r – произвольное положительное число, меньшее чем R. Тогда данный степенной ряд (1) является равномерно сходящимся на сегменте .

Теорема 3. Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.

На основании теорем 1 и 2 можно доказать следующие теоремы.

Теорема 4. Степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.

Теорема 5. Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать в интервале сходимости.

где и – точки, принадлежащие интервалу сходимости.

Пример. Найти сумму ряда

Решение. Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по формуле , где и ; получим

Проинтегрировав затем в пределах от 0 до , находим

Этот ряд сходится в промежутке . ●

Свойства степенных рядов справедливы и для рядов вида (2).

Глава 3. РЯДЫ ФУРЬЕ

Ряды и коэффициенты Фурье

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движение поршня в двигателях, распространение электромагнитных колебаний и т.п. Периодические процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена.

Тригонометрические ряды были введены Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны.

Формулы, выражающие коэффициенты ряда через данную функцию, были даны французским математиком Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Фурье систематически пользовался тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности.

Итак, простейший периодический процесс – гармоническое колебание – описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида и .

Рассмотрим функциональный ряд вида

(1)

Такой ряд называется тригонометрическим рядом.

Так как члены тригонометрического ряда (1) имеют общий период , то и сумма ряда, если он сходится, будет также периодической функцией с периодом .

Если периодическая функция является суммой равномерно сходящегося на сегменте тригонометрического ряда (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

, , .

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Эйлера-Фурье.

Определение. Тригонометрический ряд

коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера-Фурье, называется рядом Фурье, соответствующим функции .

Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента . Если – сумма этого ряда, то во всех точках непрерывности этой функции

= ,

А во всех точках разрыва

. (2)

Кроме того,

. (3)

Условия этой теоремы часто называются условиями Дирихле.

IIример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на интервале уравнением .

Решение. Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки и . На рисунке изображен график функции , где – сумма ряда Фурье функции .

Эта сумма является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией на отрезке , так как данная функция удовлетворяет условиям Дирихле. На отрезке у нее всего две точки разрыва I рода на концах промежутка в точках и . Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим