1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции 
и линейно-логарифмической функции 
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r yx и η ylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
7. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
8. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (
), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата 
, если прогнозное значение фактора (
) составит 1,023 от среднего уровня (
).
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (
; 
), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (
), оцените точность выполненного прогноза.
Задача №2.
Изучаются показатели социально-экономического развития экономики территорий Южного федерального округа РФ за 2000 год..
Y – валовой региональный продукт, млрд. руб.;
X1 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;
X2 – инвестиции предыдущего, 1999 года в основной капитал, млрд. руб.;
X3 – кредиты, предоставленные в предыдущем, 1999 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил одну территорию (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=11.
| Y | X1 | X2 | X3 | |
| Y | 0,9348 | 0,9578 | 0,7914 | |
| X1 | 0,9348 | 0,8696 | 0,7764 | |
| X2 | 0,9578 | 0,8696 | 0,7342 | |
| X3 | 0,7914 | 0,7764 | 0,7342 | |
| Средняя | 20,54 | 0,4995 | 3,379 | 0,2762 |
| σ | 21,85 | 0,4187 | 3,232 | 0,3159 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
| Y | X1 | X2 | X3 | |
| Y | 0,6545 | 0,8211 | 0,2468 | |
| X1 | 0,6545 | -0,2352 | 0,1399 | |
| X2 | 0,8211 | -0,2352 | -0,0976 | |
| X3 | 0,2468 | 0,1399 | -0,0976 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - 
.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 106,7 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1 – среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.;
Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 – доля занятых в экономике в общей численности населения, %;
X2 - инвестиции текущего, 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X3 - среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), млн. руб.
Рабочие гипотезы:
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
| Y1 | X1 | X2 | Y2 | 
| X3 | ||
| Y1 | 0,6712 | 0,6745 | Y2 | 0,8179 | 0,6085 | ||
| X1 | 0,6712 | 0,3341 |
| 0,8179 | 0,5440 | ||
| X2 | 0,6745 | 0,3341 | X3 | 0,6085 | 0,5440 | ||
| Средняя | 1,553 | 44,23 | 5,600 | Средняя | 23,77 | 1,553 | 1,3246 |
| 0,2201 | 2,1146 | 2,4666 |
| 7,2743 | 0,2001 | 0,2123 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b- коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- оцените с помощью F -критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Задача 4.
Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических характеристик региона за период.
Y1 – среднее число детей в 1-ой семье региона, чел.
Y2 – среди населения в возрасте 18-49 лет процент лиц с полным средним образованием, %
Y3 – среднемесячная заработная плата 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.
X1 – среди членов семьи средний процент пенсионеров, %
X2 – приходится в среднем кв. м жилой площади на 1-го члена семьи в регионе, кв. м
X3 – инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.
Приводится система рабочих гипотез, которые необходимо проверить.
Задание
1. Используя рабочие гипотезы, постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Задача №5.
По территориям Сибирского и Уральского федеральных округов России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:
Y1 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.
Y2 - розничный товарооборот, млрд. руб.
X1 – основные фонды в экономике, млрд. руб.
X2 - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
X3- среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
Задание:
1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
2. Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных 
и 
Задача №6.
Число крестьянских (фермерских) хозяйств (на конец года), -Zt, тыс., в 1993-2000 гг. в Российской Федерации характеризуется следующими сведениями:
| Годы | Zt | Годы | Zt |
| 182,8 | 278,6 | ||
| 270,0 | 274,3 | ||
| 279,2 | 270,2 | ||
| 280,1 | 261,1 | ||
| 278,1 | 261,7 |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -Zt
2. Рассчитайте параметры равносторонней гиперболы: 
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи (η и η2 );
- значимость модели тренда (F -критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации 
, а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда - 
4. Выполните прогноз до 2003 года.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта (
) и импорта (
) Великобритании, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - 
, а для импорта – 
.
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: 
и 
| Годы | Экспорт ()
| Импорт ()
| ||
 .
| 
| 
|
| |
| 185,0 | 178,8 | 209,9 | 197,8 | |
| 190,0 | 191,7 | 221,6 | 213,6 | |
| 180,2 | 204,6 | 205,4 | 229,4 | |
| 204,9 | 217,5 | 227,0 | 245,2 | |
| 242,0 | 230,4 | 263,7 | 261,0 | |
| 260,7 | 243,3 | 286,0 | 276,8 | |
| 281,7 | 256,2 | 306,6 | 292,6 | |
| 271,8 | 269,1 | 314,0 | 308,4 | |
| 268,2 | 282,0 | 318,0 | 324,2 | |
| 281,4 | 294,9 | 334,3 | 340,0 |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
| Сt | Qt | t | |
| Ct | 0,9795 | 0,9262 | |
| Qt | 0,9795 | 0,9262 | |
| T | 0,9262 | 0,9262 | |
| Итого | 2365,9 | 2686,5 | |
| Средняя | 236,6 | 268,7 | 5,5 |
| 39,89 | 46,87 | 2,87 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических (
и 
);
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: 
; 2) уровней рядов: 
и 3) коэффициент частной корреляции уровней: 
; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Решение типовых задач
Примечание к решению типовых задач.
При решении типовых задач в табличном процессоре EXCEL и вручную, на калькуляторе из-за особенностей программы при округления цифр промежуточных расчётов некоторые из итоговых результатов могут отличаться. Это не является ошибкой, а лишь особенностью пакетного и ручного решения.
Задача №1.
Приводятся данные за 2000 год по территориям Северо-Западного федерального округа
Таблица №1.
| Территории Северо-Западного федерального округа | Оборот розничной торговли за год, млрд. руб. | Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб. |
| А | Y | X |
| 1.Респ. Карелия | 9,4 | 19,1 |
| 2.Респ. Коми | 16,7 | 37,3 |
| 3.Архангельская обл. | 16,3 | 30,0 |
| 4.Вологодская обл. | 12,1 | 27,5 |
| 5.Калининградская обл. | 14,0 | 19,0 |
| 6.Ленинградская обл. | 15,6 | 26,2 |
| 7.Мурманская обл. | 20,5 | 39,5 |
| 8.Новгородская обл. | 9,3 | 14,8 |
| 9.Псковская обл. | 7,3 | 11,6 |
| 10.г.Санкт-Петербург 1) | 83,1 | 133,6 |
| Итого | 121,2 | |
| Средняя | 13,47 | 25,0 |
|
| 4,036 | 9,120 |
| Дисперсия, D | 16,289 | 83,182 |
Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции , степенной 
, линейно-логарифмической функции 
и параболы второго порядка 
.
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r и ρ) и детерминации (r2 и ρ2), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите скорректированную среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср ., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оценивая точность выполненного прогноза.
Решение:
1.Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора 
. См. табл. 2. Если график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат – на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.
Таблица №2.
| Территории Северо-Западного федерального округа | Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб. | Оборот розничной торговли за год, млрд. руб. |
| А | 
| 
|
| 1.Псковская обл. | 11,6 | 7,3 |
| 2.Новгородская обл. | 14,8 | 9,3 |
| 3.Калининградская обл. | 19,0 | 14,0 |
| 4.Респ. Карелия | 19,1 | 9,4 |
| 5.Ленинградская обл. | 26,2 | 15,6 |
| 6.Вологодская обл. | 27,5 | 12,1 |
| 7.Архангельская обл. | 30,0 | 16,3 |
| 8.Респ. Коми | 37,3 | 16,7 |
| 9.Мурманская обл. | 39,5 | 20,5 |
| Итого | 121,2 | |
| Средняя | 25,0 | 13,47 |
|
| 9,120 | 4,036 |
| Дисперсия, D | 83,182 | 16,289 |
2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: 
, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.
3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, оносительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1 Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.
Расчётная таблица №3
| № |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| А | ||||||||
| 11,6 | 7,3 | 134,6 | 84,7 | 8,1 | -0,8 | 0,6 | 5,2 | |
| 14,8 | 9,3 | 219,0 | 137,6 | 9,4 | -0,1 | 0,0 | 0,4 | |
| 19,0 | 14,0 | 361,0 | 266,0 | 11,1 | 2,9 | 8,4 | 19,5 | |
| 19,1 | 9,4 | 364,8 | 179,5 | 11,1 | -1,7 | 2,9 | 11,2 | |
| 26,2 | 15,6 | 686,4 | 408,7 | 13,9 | 1,7 | 2,9 | 10,9 | |
| 27,5 | 12,1 | 756,3 | 332,8 | 14,5 | -2,4 | 5,7 | 15,7 | |
| 30,0 | 16,3 | 900,0 | 489,0 | 15,5 | 0,8 | 0,6 | 5,5 | |
| 37,3 | 16,7 | 1391,3 | 622,9 | 18,4 | -1,7 | 2,9 | 11,3 | |
| 39,5 | 20,5 | 1560,3 | 809,8 | 19,3 | 1,2 | 1,4 | 8,0 | |
| Итого | 225,0 | 121,2 | 6373,6 | 3331,0 | 121,2 | 0,0 | 25,4 | 98,4 |
| Средняя | 25,0 | 13,5 | — | — | — | — | — | 10,9 |
| Сигма | 9,12 | 4,04 | — | — | — | — | — | — |
| Дисперсия, D | 83,18 | 16,29 | — | — | — | — | — | — |
| Δ= | 6737,76 | — | — | — | — | — | — | — |
| Δа0= | 23012,4 | 
| 3,415 | — | — | — | — | — |
| Δа1= | 2708,91 | 
| 0,402 | — | — | — | — | — |
3. Расчёт определителя системы выполним по формуле:
