Математическое описание электромагнитных процессов в машинах переменного тока намного сложнее, чем в машинах постоянного тока. Это объясняется не только тем, что их питание осуществляется переменным током, но и тем, что в таких машинах имеются несколько взаимосвязанных электрических контуров. В результате при описании электромагнитных процессов мы получаем систему дифференциальных уравнений высокого порядка. В теории электромеханического преобразования энергии существуют различные методы упрощения исходных уравнений. Наиболее распространенным из них является представление электрической машины в виде идеализированного двухфазного электромеханического преобразователя. В идеализированной машине в воздушном зазоре имеем круговое поле, а высшие гармоники отсутствуют. Методы перехода от исходной трехфазной машины к идеализированной хорошо разработаны в общей теории электромеханического преобразования энергии – на них останавливаться не будем. Отметим лишь, что в результате преобразований мы получим идеализированную машину, имеющую две обмотки на роторе и две обмотки на статоре, расположенные по ортогональным осям α и β (рис. 3.1). Для такой машины справедлива система уравнений:
(3.1)
где u α s, u β s – напряжения на обмотках статора; i α s, i α r, i β s, i β r – токи в обмотках статора и ротора по осям α и β; L α s, L α r, L β s, L β r – полные индуктивности обмоток статора и ротора по осям α и β; m – число фаз двигателя; M э – электромагнитный момент двигателя.
Рис. 3.1. Модель идеализированной асинхронной машины
Полная индуктивность каждой обмотки может быть записана уравнением
L = M + L σ
где M – взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора по осям α и β; L σ – индуктивность рассеяния обмотки. Система уравнений (3.1) достаточно точно описывает статические и динамические процессы в асинхронном двигателе, если принят гармонический закон изменения напряжений u α и u β. Однако она является существенно нелинейной и в таком виде практически не используется. Для упрощения математического описания электромагнитных процессов осуществляют преобразования исходных уравнений. В частности, если в первых четырех уравнениях системы (3.1) провести замену d / dt ↔ j ω, получим систему уравнений асинхронного двигателя в установившемся режиме:
(3.2)
Так как рассматривается симметричная машина, целесообразно параметры обмоток обозначить Ls = L α s = L β s, Rs = r α s = r β s, Lr = L α r = L β r, Rr = r α r = r β r, а также ввести понятия xs =ω Ls, xr =ω Lr – полные индуктивные сопротивления статора и ротора, x 0=ω M – сопротивление взаимной индукции. Кроме того, обозначим результирующие векторы напряжений 
и токов 
, 
. Тогда от четырех уравнений напряжений (3.2), если обратиться к обобщающим векторам напряжений, токов и сопротивлений, можно перейти к двум уравнениям:
(3.3)
где ν=ωр/ω. Введем понятия скольжение ротора относительно поля статора s =(ω−ωр)/ω и ЭДС холостого хода 
. Тогда систему уравнений асинхронной машины можно представить в виде:
(3.4)
Обозначим zs = Rs + jxs, zr = Rr + jxr, разделим второе уравнение системы (3.4) на s и с учетом того, что Rr / s = Rr + Rr ×(1− s)/ s, получим
(3.5)
Полученные уравнения описывают электромагнитные процессы асинхронного двигателя в установившемся режиме. По ним строятся векторные диаграммы и схемы замещения двигателя. В частности, если перейти к приведенным параметрам роторной цепи, систему уравнений (3.5) можно представить в виде
(3.6)
Векторная диаграмма, соответствующая уравнениям (3.6) представлена на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Векторная диаграмма асинхронной машины
