Основными уравнениями, описывающими интенсивный поток электронов в электрическом и магнитном полях, являются:
1) уравнение Пуассона
Ñ2j = - r/e0, (1)
где j - потенциал электрического поля;
r - плотность пространственного заряда электронного пучка;
2) уравнение движения электронов (уравнение Лоренца)
d 
/dt = - e/m×(
+ [ × 
]), (2)
где , , - векторы скорости электронов, напряженности электрического поля и индукции магнитного поля;
3) уравнение непрерывности тока
div j = - div (r ) = 0 (3)
Эти уравнения являются нелинейными, поэтому эту задачу решить сложно. При решении данной задачи для ЭЛУ влиянием собственного магнитного поля электронного пучка можно пренебречь. Ввиду сложности задачи аналитическое решение системы (1) – (3) возможно только для ограниченного числа наиболее простых систем формирования электронных пучков. Для практических расчетов и конструирования ЭЛУ применяются либо приближенные методы расчета, либо методы математического моделирования, основанные на теории подобия и применении численных методов расчета. Применяются также модели – аналогов, например, используются электролитические ванны.
На практике при проектировании ЭЛУ приходится иметь дело с двумерным ленточным пучком или с цилиндрическим осесимметричным пучком. Для плоского пучка в двумерной задаче уравнение Пуассона принимает вид
¶2j/¶х2 + ¶2j/¶у2 = - r/e0. (4)
Потенциал электрического поля связан с напряженностью полю уравнением
Е = - Grad j
При решении данного уравнения (4) можно принять поверхность электрода эквипотенциальной:
j = const,
и в соответствие с законом сохранения заряда можно записать
div(r×V) = 0 (5)
Интегрируя уравнения (5) по произвольному объему, получаем соответственно:
(6)
здесь S – поверхность объема Н.
Из уравнения (6) следует, что если в объеме Н отсутствуют источники или стоки заряда, то суммарный ток, проходящий через замкнутую поверхность в данном объеме равен нулю.
Установлена аналогия между уравнением Пуассона для потенциала электрического поля для двумерной или асимметричной задачи и уравнением тока в проводящем слое электролита в электролитической ванне. Получаемое для заданной геометрии электродов электродной пушки семейство эквипотенциальных линий определяет картину электрического поля электронного пучка с учетом объемного пространственного заряда электронов rе, который регулируется с помощью потенциометров тока, подаваемого на равномерно (в виде сетки) установленные в ванне штыри.
Решение уравнения Пуассона на ЭВМ основано на численных методах решения (метод конечных разностей, метод конечных элементов).
На основании расчетов выбирается форма электронной пушки. Напряжение в промышленных ЭЛУ не должно превышать 30 кВ, исходя из условий, определяемых уровнем рентгеновского излучения.
Фокусировка электронного пучка промышленных ЭЛУ необходима в связи с тем, что после выхода пучка из отверстия анода он попадает в пространство равного потенциала. Если не принять специальных мер, то под действием расталкивающих сил пространственного заряда пучок начинает расширяться. Это затрудняется его проведение на достаточно большое расстояние в технологическом объеме. Для фокусировки пучка используют системы магнитных линз, которые представляют собой катушки, снабженные магнитопроводом.
Для управления распределением плотности потока электронов на поверхности нагреваемого изделия применяется система отклонения и развертки пучка. Для этого применяют магнитные отклоняющие системы, создающие управляемое магнитное поле, перпендикулярное оси электронного пучка. При формировании требуемого закона развертки пучка необходимо обеспечить изменение тока в катушках отклоняющей системы по заданной временной функции.
