Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств.
Множество – это совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.
Способы задания множеств:
1) Перечисление элементов: М={0,1,2,…,9}
2) Указание свойств Р(х), которым элементы множества должны удовлетворять: М={x | P(x)}.
Неправильное заданные свойства могут привести к противоречию!
Парадокс Рассела:
Рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами: 
. Является ли тогда множество К своим элементом. Если КєК, то должно выполняться свойство, задающее множество К, т.е. К¢К, что приводит к противоречию. Если же К¢К, то, поскольку выполняется свойство, задающее К, то КєК, а это противоречит предположению. Таким образом, не всякое свойство приводит к осмысленному заданию множества.
Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы А принадлежат В, т.е. 
Множества А и В называются равными или совпадающими, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. 
Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается Р(А), т.е. 
. Если |U|=n (множество U содержит n элементов), то |P(U)|=2n.
Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым ø.
Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом U.
Операции над множествами:
1) объединение 
2) пересечение 
3) вычитание 
4) кольцевая сумма (симметрическая разность) 
5) дополнение 
Свойства основных операций над множествами:
1) Ассоциативность: 
2) Коммутативность: 
3) Идемпотентность: 
4) Дистрибутивность: 
5) Поглощение: 
6) Законы де Моргана: 
7) Законы нуля и единицы: 0=ø, 1=U
8) Закон двойного отрицания: 
Упорядоченную последовательность (х1, х2,…,хn) называют кортежем длины n.
Декартовым (прямым) произведением множеств А1, А2,…, Аn называется множество {(x1, x2,…, xn) | x1 є A1,…, xn є An}.
Если А1=А2=…=Аn, то 
– n-ная декартова степень множества А.
А0 = ø
Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений.
n-местным отношением или n-местным предикатом Р на множествах А1, А2,…, Аn называется любое подмножество прямого произведения 
. Другими словами, элементы х1, х2,…, хn (где хi є Ai) связаны соотношением Р тогда и только тогда, когда (х1, х2,…, хn) є Р. При n=1 отношение Р является подмножеством множества А1 и называется унарным отношением или свойством.
При n=2 отношение Р называется бинарным отношением или соответствием. 
Пример: Если А={2,3,4,5,6,7,8}, то бинарное отношение Р={(x,y) | x,y є A, x делит y и х≤3} можно записать в виде Р = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6)}.
Если Р={(x, y) | x, y є R, x≤y}, то запись xPy означает, что x≤y. idA = {(x,x) | x є A} – тождественное отношение, idA принадлежит А2.
U = A2 – универсальное отношение. Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Областью определения отношения Р называется множество δР = {x | (x,y) є P для некоторого у}. Областью значений отношения Р называют множество ρР = {y | (x,y) є P для некторого х}. Обратным отношением называется множество Р-1 = {(y,x) | (x,y) є P}.
Образом множества Х относительно предиката Р называется множество Р(Х)={y | (x,y) є P для некоторого х є Х}
Прообразом множества относительно предиката Р называется множество Р-1(Х) или, другими словами, образ множества Х относительно предиката Р-1.
Произведением бинарных отношений 
и 
или композицией Р1 и Р2 называется множество Р1•Р2 = {(x,y) | x є A, y є C, и найдется элемент z є B такой, что (x,z) є Р1 и (z,y) є P2}.
Свойства:
1) Ассоциативность композиции: (P•Q)•R=P•(Q•R)
Доказательство: Пусть (x,y) є (P•Q)•R. Тогда для некоторых u и v имеем (x,u) є P, (u,v) є Q, (v,y) є R. Тогда (u,y) є Q•R и (x,y) є P•(Q•R). Включение P•(Q•R) є (P•Q)•R доказывается аналогично.
2) (P•Q)-1=Q-1•P-1
Доказательство: Предположим, что (x,y) є (P•Q)-1. Тогда (y,x) є P•Q, и, следовательно, (y,z) є P и (z,x) є Q для некоторого элемента z. Значит (x,z) є Q-1, (z,y) є P-1 и тогда (x,y) є Q-1•P-1. Обратное включение доказывается аналогично.
3) P•Q ≠ Q•P
4) (P-1)-1=P
Доказательство: Если (x,y) є P, то (y,x) є Р-1, но тогда (x,y) є (Р-1)-1.