o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:
.
Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции 
по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х—погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача—найти закон распределения суммы погрешностей .
Случай 1. Пусть Х и Y— дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.
Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями
| Х | ||
| Р | 0,4 | 0,6 |
и
| Y | ||
| P | 0,2 | 0,8 |
Составить распределение случайной величины Z=X+Y.
Возможные значения Z есть суммы каждого возможного
, 
.
, 
.
Свойство 4.Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. 
).
Свойство 5.Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.
.
Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. 
. Найдем их вероятности
.
Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то
. Отсюда 
.
§ 12. Дискретные случайные величины.
o Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно.
o Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (хi, рi), где xi—возможные значения случайной величины, а pi—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. 
, причем 
.
Простейшей формой задания дискретной случайной
.
.
; 
; 
.
.
можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: 
.
, то 
.
в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции 
.
Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси абсцисс откладывают значения xi, а по оси ординат—вероятности pi. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломаную, которая является одной из форм задания закона распределения дискретной величины.
с вероятностями 
.
.
, 
. Искомое распределение Y:
, 
.
с вероятностями 
.
, т.е. случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ. 
.
а) Пусть функция 
возрастает. По определению
.
Продифференцируем обе части. Справа получим: 
, слева— 
, что и требовалось 
.
б) Пусть 
.
Продифференцировав обе части, 
.
Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина
.
с вероятностями 
, где q=1-p.
.
.
, вероятность того, что «герб» не появится 
.
.
Теорема 1. Пусть 
—непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины 
и 
—непрерывны, причем 
, 
.
Свойство 3. 
, где 
—множество из пространства IRn.
o Говорят, что случайный вектор 
имеет равномерное распределение в области 
, если она непрерывна и имеет плотность.
Если множество 
.
o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х.
Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью 
, а случайная величина 
, где 
—монотонная дифференцируемая функция,
;
;
.
, искомая вероятность 
.
.
= 
.
o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.
o Случайный вектор 
называется непрерывным, если существует неотрицательная функция 
, называется плотностью распределения случайных величин 
такая, что функция распределения 
.
Свойства плотности распределения случайного вектора.
Свойство 1. 
Свойство 2. 
.
, где 
—случайные величины, называются n- мерным случайным вектором.
Таким образом, случайный вектор 
отображает пространство элементарных исходов Ω→IRn в n-мерное действительное пространство IRn.
o Функция 
называется функцией распределения случайного вектора 
.
Свойства функции распределения случайного вектора.
Свойство 1. 
.
Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.
Пусть x1<y1, тогда событие 
.
Тогда 
. По свойству вероятности если 
, то 
, получим 
. Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента.
Свойство 3. 
.
=0
, 
—это событие практически невозможно.
Б) 
—событие практически невозможно, т.к. события «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов»—несовместимы.
В) 
—это событие практически достоверно.
§ 14. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
.
Здесь 
—совместимая плотность распределения случайных величин Х1,…,Хn, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х1,…,Хn
.
Предположим, что случайная величина 
. Вероятность, что 
.
Пусть 
. 
.
, где 
—функция Лапласа.
Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.
φ(-х)=φ(х); функция Лапласа 
; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.
.
, причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
.
. Найти DX.
.
.
Таким образом, 
.
Теорема 1. Если случайная величина Х имеет нормальное стандартное распределение с параметрами (a, G2), то случайная величина 
имеет нормальное распределение, т.е. 
; 
.
Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин).
Для того чтобы дискретные случайные величины Х1,…,Хn были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение 
.
Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).
.
.
.
Математическоеожидание и дисперсия непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, что и для дискретных случайных величин.
Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, распределенной равномерно на [a, b]: 
. Нашли, что 
.
.
Пример 5. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение X~N(a, G2). Найти дисперсию DX.
X~N(a, G2). MX=a.
.
Таким образом, 
.
Пример 6. Пусть случайная величина Х имеет
.
o Случайные величины X1,X2,…,Xn называются независимыми, если для любых числовых множеств B1,B2,…,Bn 
.
Если взять B1=]-∞, x1[; B2=]-∞, x2[; …; Bn=]-∞,xn[, то 
.
—совместимая функция распределения случайных величин Х1,Х2,…,Хn. Таким образом, 
. Данное равенство также можно взять в качестве определения независимости случайных величин.
Свойство 3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство 4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:
.
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
.
Пример 2. Пусть случайная величина Х~N(a, G2).
Поскольку 
. (интеграл от плотности φ(t)).
Таким образом, 
, т.е. смысл параметра а—математическое ожидание случайной величины Х.
Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х, имеющей показательное распределение с параметром λ>0, т.е. X~M(λ)
Дисперсией непрерывной случайной величины Хназывается число 
. Если случайная величина имеет плотность p(x),
. Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости.
. Очевидно, что 
.
.
Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: 
.
Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом, то общее число появлений события 
. По свойству 4:
.
Согласно примеру 2 
. Таким образом, получим 
. Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением случайной
B), называется законом распределения случайной величины Х.
1. F(x)—функция распределения является законом распределения любой случайной величины. 
.
2. Ряд распределения дискретной случайной величины также является законом распределения дискретной случайной величины.
3. Плотность распределения непрерывной случайной величины p(x) является законом распределения непрерывной случайной величины.
.
o Математическим ожиданием или средним значениемнепрерывной случайной величины Х с плотностью p(x) называется число 
при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.
Пример 1. Пусть Х имеет равномерное распределение на [a, b].
EMBED Equation.3 
.
.
.
.
.
.
o Если случайная величина Х~N(0,1), то говорят, что случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. В этом случае плотность обозначается 
. Через N(x) обозначим 
, где Х0~N(0,1).
.
.
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: 
.
Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. 
.
. Т.к. MX1=p. 
, то 
. Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда 
.
o Начальным моментом порядка к случайным величинам Хназывают математическое ожидание случайной величины Хk:
Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения. Ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.
Пример. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону 
. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (0,3; 1).
1. 
.
2. 
.
o Говорят, что случайная величинf Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G2, если она непрерывна и имеет плотность 
. Обозначение Х~N(a, G2), те Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G2.
График плотности нормально распределенной
. В частности, 
, 
.
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии 
можно записать так: 
.
Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-ХМ.
o Центральным моментом порядка kслучайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)k.
. В частности
, 
. Следовательно, 
.
Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы:
.
.
Моменты более высоких порядков применяются редко.
Замечание. Моменты, определенные выше, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.
***********************************
§ 15. Непрерывные случайные величины.
Говорят, что случайная величина Х имеет плотность
Примером равномерно распределенной случайной величины может служить Х-координата точки, наудачу брошенной на [a, b].
o Говорят, что случайная величина Х имеет показательное (экопоненциальное) распределение с параметром λ>0, если она непрерывна и имеет плотность распределения
; обозначают Х~M(λ).
Найдем функцию распределения показательно распределенной случайной величины Х.
а) x≤0
.
б) x>0
EMBED Equation.3 
, если существует функция p(x) такая, что функция распределения 
(1).
Пример. Нужно определить массу стержня длины l, если плотность массы равна p(x).
o Случайная величина называется непрерывной, если она имеет плотность распределения.
Пусть р(х)—непрерывная функция. Тогда 
Где 
, α—бесконечно малая величина при Δх→0.
Т.к. 
, при Δх→0. Таким образом, 
.
.
Свойства плотности распределения.
Свойство 1. 
.
Свойство 2.Плотность распределения—неотрицательная функция: 
.
—неотрицательная функция.
Геометрически это свойство означает, что график плотности распределения расположен либо над осью ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.
Свойство 3.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице:
.
В формуле (1) подставим х=+∞, 
. Поскольку 
, то 
.
Свойство 4.Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В, равна интегралу по множеству В от плотности распределения.
.
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х.
.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Искомая вероятность 
.
Говорят, что случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [a, b], если она непрерывна и имеет
Найдем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины X.
а) x<a
;
б) a≤x≤b
.
в) x>b
.
, если 
