Критерий Рауса-Гурвица используется при анализе устойчивости линейных стационарных систем. Он позволяет аналитически определить, все ли корни полинома имеют отрицательные действительные части.
Вещественные части корней будут отрицательными в том случае, если все коэффициенты уравнения и диагональные миноры главного определителя будут положительными. Главный определитель составляется так, что по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения начиная с a 1в возрастающем порядке до an. От каждого коэффициента главной диагонали по вертикали вверх выписываются коэффициенты с возрастающими и вниз - с убывающими индексами. Места в матрице коэффициентов с индексами больше n и меньше 0 заполняются нулями.
Критерий Гурвица формируется следующим образом:
для того, что бы АСУ была устойчива, необходимо и достаточно, что бы все определители Гурвица (∆1, ∆2, …, ∆n) были положительными, и при этом выполнялось условие а0>0.
Рассмотрим выражение критерия Гурвица для характеристического уравнения третьего порядка
a0s3+ a 1 s 2 +a 2 s+a3 = 0
Главный определитель
Условие Гурвица
> 0
Следовательно, система будет устойчивой, если все коэффициенты a0,a1,a2,a3 положительны и a1a2 −a0a3 > 0, и a0 > 0.
Критерий устойчивости Михайлова
В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента: произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех его сомножителей.
Чтобы все корни характеристического уравнения
a 0 sn + a 1 sn− 1 +...+ an−1s + an = 0
имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полином D (s) полное приращение его фазы при изменении частоты ω от нуля до бесконечности составляло nπ /2, где n – степень полинома D (s). При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую – «годограф Михайлова».
Свойства годографа Михайлова:
1) годограф всегда спиралевиден;
2) при ω = 0, годограф начинается с точки на вещественной оси;
3) годограф уходит в бесконечность при ω → ∞;
4) при четном n, годограф стремится к бесконечности параллельно вещественной оси; при n - нечетном, годограф стремится к ∞ параллельно мнимой оси.
Замкнутая система устойчива в том случае, если годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ проходит в положительном направлении n квадрантов комплекса плоскости, начиная свое движение от положительной вещественной полуоси, и при этом нигде не обращается в нуль.
Рисунок 2 – Годограф Михайлова: а) для устойчивых систем; б) для неустойчивых систем.
