Понятие о подобии физических явлений

Подобие физических явлений имеет много общего с геометрическим подобием. Две геометрические фигуры подобны, если имеют одинаковую форму. У таких фигур отношение расстояний между любыми парами сходственных точек равно одной и той же постоянной величине, называемой коэффициентом подобия. Например, подобные треугольники и (рис. 1) имеют:

.

Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны:

; ; .

Рис. 1. Подобные фигуры.

 

Подобные фигуры обладают еще одним важным свойством равенством внутренних геометрических соотношений, называемых критериями геометрического подобия. Для треугольников и это:

; ;

и т.д.

Подобные фигуры имеют равные одноименные критерии геометрического подобия. С помощью критерия подобия можно сравнивать между собой любое количество фигур. Когда критерий принимает определенное значение, геометрическая фигура может приобретать новое свойство. Например, если у треугольника отношение высоты к прилегающей стороне , то он становится прямоугольным и к нему может быть применена теорема Пифагора.

Понятие подобия в полной мере распространяется на физические явления. Особенно важную роль при исследовании процессов в бытовых машинах и приборах играет подобие потоков жидкости или газа (кинематическое подобие); силовых полей (динамическое подобие); полей температур и тепловых потоков (тепловое подобие); полей концентраций и потоков веществ (диффузионное подобие).

Предпосылкой подобия полей физических явлений обязательно должно быть геометрическое подобие, т.е. физические поля подобны, если в сходственных точках геометрически подобных систем отношение физических величин выражено постоянными значениями соответствующих констант подобия. Примером кинематического подобия может служить подобие движения жидкости, которое также требует наличия геометрического подобия, т.е. если необходимо изучить распределение скоростей потока жидкости в круглой трубе, то подобный поток должен быть осуществлен также в трубе круглого сечения любого диаметра. При этом между собой должны сравниваться скорости в точках, отвечающих геометрическому подобию (рис. 2). Кроме того, должно быть обеспечено подобие физических полей, т.е. во всех сходственных точках ; ,

где - плотность жидкости; - динамическая вязкость жидкости. В итоге можно получить .

Рис. 2. Кинематическое подобие фигур.

 

Аналогичным образом для теплового подобия в случае конвективного теплообмена необходимо обеспечить геометрическое подобие, подобие физических полей и кинематическое подобие. Только в этом случае в сходственных точках будет наблюдаться подобие температур . Если процесс нестационарный, то подобие наступает в сходственные моменты времени.

Для того чтобы сформулировать, что именно понимается под подобием физических явлений, необходимо уточнить ряд терминов:

одноименные величины – величины, имеющие один и тот же физический смысл и одинаковую размерность;

сходственные точки – точки, отвечающие геометрическому подобию;

сходственные моменты времени – моменты, наступающие по истечении периодов времени, имеющих общее начало отсчета и длительность, связанную с константой временного подобия: .

Таким образом, подобными называются физические явления, происходящие в физически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин выражены соответствующими константами подобия.

 

1.1.1. Понятие об обобщённых безразмерных величинах

В основе метода подобия лежит принцип обобщения. В результате инженерного расчета должны быть получены значения определенных величин. Однако в зависимости от того, какие параметры будут выбраны для измерения, найденные в расчетах величины могут быть как размерными, так и безразмерными. Между ними имеется принципиальное различие.

При использовании размерных величин оперируют некоторым эталоном, с которым эта величина сравнивается (метр, килограмм и т.д.) независимо от природы изучаемого явления. При оперировании безразмерными параметрами в качестве масштаба измерения используется величина, органически связанная с природой данного явления. Так, например, движение тела в газовой среде можно охарактеризовать скоростью, выраженной в метрах в секунду, однако без дополнительных сведений о физических свойствах среды (давлении, плотности, вязкости) невозможно выяснить особенности этого движения. Если же движение тела характеризовать безразмерным числом Маха (, где и – соответственно скорость тела и скорость звука в данной среде), то его значение будет нести информацию о явлениях, сопровождающих движение. При возникнет аэродинамический нагрев, появится скачок уплотнения, изменится центр давления тела.

Достоинство безразмерного параметра заключается не только в его большей информативности, но и в сокращении количества величин, участвующих в измерении и расчете. Последнее обстоятельство упрощает исследование.

Таким образом, сущность метода подобия состоит в том, что физические и геометрические величины, определяющие скорость и направленность процессов, протекающих в природе и технике, в наибольшей степени проявляют себя не каждая в отдельности, а в виде комплекса или комплексов величин, характерных для каждой группы процессов, причем таких комплексов оказывается значительно меньше, чем первоначальных величин, существенных для течения процесса.

 

Первая теорема подобия

Основу применения теории подобия составляет система теорем подобия, которые позволяют получить ответы на важнейшие вопросы практики применения этой теории:

1. Какие величины необходимо измерять в эксперименте?

2. Как обрабатывать результаты эксперимента, чтобы получить математическое описание процесса?

3. Какие явления подобны изучаемому, или, другими словами, как построить модель, подобную изучаемому объекту (воспроизвести процесс в других масштабах)?

В систему входят три теоремы подобия.

Первая теорема подобия сформулирована И.Ньютоном (1685 г.): подобные между собой явления имеют численно равные значения критериев подобия.

Критерии подобия – безразмерные параметры, бывают двух видов: критерии-комплексы, состоящие из различных физических и геометрических величин, и критерии-симплексы, состоящие из одноименных величин. Примером критерия-комплекса служит, например, число Рейнольдса:

,

где - скорость течения жидкости; – диаметр трубы; - плотность жидкости; - динамическая вязкость жидкости.

Пример критерия-симплекса – рассмотренное ранее число Маха.

Каждый критерий имеет определенный физический смысл и выражает меру соотношения между эффектами, существенными для описываемого процесса. Так, например, если критерий Рейнольдса записать в виде:

,

то станет очевидным, что он выражает соотношение между силами инерции и силами молекулярного трения в потоке жидкости.

Если для двух подобных потоков жидкости критерии численно равны, то:

,

откуда:

,

но отношение физических констант в сходственных точках подобных систем представляет собой соответствующие константы подобия, т.е.:

, , , ,

следовательно:

.

Составленный таким образом параметр из констант подобия представляет собой индикатор подобия, а его равенство единице является закономерным для подобных процессов. Поэтому равенство единице индикатора подобия рассматривается как одна из возможных формулировок первой теоремы подобия.

Метод подобия предусматривает проведение экспериментов для установления взаимосвязи между безразмерными параметрами. Следовательно, при экспериментировании необходимо измерять первоначальные величины, входящие в критерии, которыми описывается изучаемый процесс. Основные критерии, используемые при анализе гидромеханических, тепловых и диффузионных процессов, представлены в научно-технической и учебной литературе [33].[VK1]

 

Вторая теорема подобия

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос о том, каким образом следует обрабатывать результаты экспериментов для того, чтобы их можно было обобщить и использовать для широкого круга явлений. Она была сформулирована Федерманом (1911 г.) и Букингемом (1914 г.):любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между соответствующими критериями в форме уравнения подобия (критериального уравнения).

С учетом физической и математической сущности подобия и на основе широкой практики использования метода подобия в науке и технике результаты опытов принято представлять в виде степенной функции, выражающей зависимость определяемого критерия , содержащего искомую величину, от определяющих критериев , отражающих различные стороны процесса:

.

Таким образом, чтобы получить уравнение, пригодное для расчета, необходимо установить:

1) число критериев, которые нужны для описания соответствующего процесса;

2) вид этих критериев;

3) численное значение коэффициентов.

Покажем, как решается эта задача.

На вопрос о числе критериев, необходимых для описания процесса в обобщенном виде, отвечает так называемая - теорема: всякое уравнение, связывающее физических и геометрических величин, размерность которых выражена через основных единиц измерения (в СИ это килограмм, метр, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела), может быть преобразовано в уравнение подобия, связывающее критериев, где .

Например, для определения числа критериев, необходимых для описания перепада давления при течении жидкости в трубе от диаметра трубы , ее длины , вязкости , плотности и средней скорости жидкости в трубе, применим -теорему.

Общее количество физических и геометрических величин , в них входит основных единиц системы СИ, следовательно, , т.е. уравнение подобия должно содержать три критерия. Действительно, в практике моделирования гидромеханических процессов используется уравнение подобия:

,

где – критерии Эйлера, Рейнольдса и геометрического подобия. При этом следует принять во внимание, что каждой паре одноименных первоначальных величин, существенных для рассматриваемого процесса, соответствует один критерий-симплекс. В приведенном примере это .

Таким образом, критериальное уравнение, характеризующее процесс течения жидкости в трубе, будет составлено из двух критериев-комплексов и одного критерия-симплекса. Последний будет представлять собой отношение характерных линейных размеров, так как одноименными являются линейные размеры пространства, в которых протекает процесс.

Следующим этапом в получении уравнения подобия является установление вида критериев, входящих в уравнение подобия. Для этого необходимо либо располагать уравнением или системой уравнений, обычно дифференциальных, которые описывают рассматриваемое явление, либо воспользоваться теорией размерностей.

Достоинство метода подобия заключается в том, что для установления вида критериев, описывающих какой-либо процесс, нет необходимости получать решения дифференциальных уравнений, но достаточно лишь иметь их. Остановимся на примере определения критерия методом анализа дифференциального уравнения.

В систему дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен у поверхности нагрева (рис. 3), входят граничные условия третьего рода:

,

где - теплопроводность стенки, - коэффициент теплообмена между стенкой и нагреваемой средой; – общий температурный напор(разность температур нагревающего и нагреваемого теплоносителя); – градиент температуры.

 

Рис. 3. Теплообмен у поверхности нагрева

 

Два подобных случая такого теплообмена будут описываться уравнениями одного и того же вида, но с различными численными значениями входящих в уравнение параметров:

Условием подобия является выражение отношения одноименных величин соответствующими константами подобия, т.е.:

, , , , ,

отсюда:

, , , , .

 

Заменив в уравнении все параметры соотношениями, приведенными в ряд, получим:

,

или:

Из равенства индикатора подобия в уравнении единице:

,

вытекает в полном соответствии с первой теоремой подобия (вторая формулировка), что оба рассматриваемых случая теплообмена подобны и описываются одним и тем же уравнением.

В свою очередь, заменив в индикаторе подобия коэффициенты подобия их выражениями из ряда формул, получим:

,

или:

,

где – критерий Био.

Это означает, что подобные процессы имеют одинаковые значения критерия Био. Критерий Био представляет собой безразмерную (обобщенную) характеристику граничных условий третьего рода. Физический смысл критерия становится ясен, если записать его в виде:

,

т.е. критерий Био выражает соотношение между термическим сопротивлением теплопроводности стенки и термическим сопротивлением теплообмена между стенкой и окружающей средой.

 

Метод размерностей

В случаях, когда отсутствуют уравнения, описывающие процесс, и составить их не представляется возможным, для определения вида критериев, из которых следует составить уравнение подобия, можно воспользоваться анализом размерностей. Предварительно, однако, необходимо определить все параметры, существенные для описания процесса. Это можно сделать на основе опыта или теоретических соображений.

Метод размерностей подразделяет физические величины на основные (первичные), которые характеризуют меру непосредственно (без связи с другими величинами), и производные, которые выражаются через основные величины в соответствии с физическими законами.

В системе СИ основным единицам присваиваются обозначения: длина , масса , время , температура , сила тока , сила света , количество вещества .

Выражение производной величины через основные называется размерностью. Формула размерности производной величины, например при четырех основных единицах измерения , имеет вид:

,

где – действительные числа.

В соответствии с уравнением безразмерные числа имеют нулевую размерность, а основные величины – размерность, равную единице.

В основе метода кроме приведенного принципа лежит аксиома о том, что складываться и вычитаться могут только величины и комплексы величин, имеющие одинаковую размерность. Из этих положений вытекает, что если какая-либо физическая величина, например , определяется как функция других физических величин в виде , то эта зависимость может быть представлена как:

,

где – постоянная.

Если затем выразить размерность каждой производной величины через основные размерности, то можно найти величины показателей степени и т.д. Таким образом:

;

;

;

;

;

.

В соответствии с уравнением после подстановки размерностей получим:

.

Группируя затем однородные члены, найдем:

.

Если в обеих частях уравнения приравнять показатели степени при одинаковых основных единицах, то получится следующая система уравнений:

В этой системе из трех уравнений пять неизвестных. Следовательно, любые три из этих неизвестных можно выразить через два остальных, а именно и через и :

После подстановки показателей степени и в степенные функции получается:

,

затем:

.

Критериальное уравнение описывает течение жидкости в трубе. В это уравнение входят, как было показано выше, два критерия-комплекса и один критерий-симплекс. Теперь же с помощью анализа размерностей установлены виды этих критериев: это критерий Эйлера , критерий Рейнольдса и параметрический критерий геометрического подобия . Для того чтобы окончательно установить вид критериального уравнения, необходимо экспериментально определить значения постоянных и в уравнении.