Равновесная концентрация свободных носителей заряда

Для расчета удельной электрической проводимости необходимо знать концентрацию свободных носителей заряда в полупроводнике. Формулы для расчета равновесной концентрации электронов и дырок (концентрации в равновесном состоянии) приведены в [1,2]:

(1.2)

(1.3)

где и – эффективные плотности разрешенных состояний, определяемые физическими константами. Эти величины довольно слабо зависят от различных факторов, и их в первом приближении можно считать постоянными.

Выражения (1.2) и (1.3) справедливы как для собственного полупроводника, так и для примесных полупроводников. Различие в концентрациях

определяется положением уровня Ферми, формулы для расчета которого в собственном и примесных полупроводниках также приведены в [1,2]:

W_Fi W_i , (1.4)

kT , (1.5)

, (1.6)

где W_i = – энергетический уровень, соответствующий середине запрещенной зоны.

Перемножим левую и правую части выражений (1.2) и (1.3):

. (1.7)

Из выражения (1.7) следует, что в любом полупроводнике произведение концентрации электронов и дырок определяется двумя важнейшими факторами – шириной запрещенной зоны энергетической диаграммы и температурой. В конкретном полупроводниковом материале ширина запрещенной зоны постоянна, и произведение концентрации электронов и дырок зависит только от температуры. В равновесном состоянии, когда температура не изменяется, оно остается постоянным, как в собственном, так и в примесных полупроводниках, независимо от типа примеси и ее концентрации.

Учитывая, что = , из выражения (1.7) получим формулу для расчета собственной концентрации:

. (1.8) Из выражения (1.8) следует, что собственная концентрация экспонен- циально зависит от температуры и ширины запрещенной зоны. С ростом температуры концентрация резко возрастает (см. рис.1.4).

Рис. 1.4. Зависимость собственной концентрации от температуры.

 

При увеличении ширины запрещенной зоны концентрация резко убывает. Так при Т = 300 К собственная концентрация составляет: в германии - ; в кремнии - ; в арсениде галлия - .

Как уже отмечалось в п. 1.2, в примесных полупроводниках основные носители образуются в основном за счет ионизации атомов примеси. Учитывая, что при ионизации одного атома примеси образуется один носитель, запишем выражения для равновесной концентрации основных носителей в электронном и дырочном полупроводнике:

N_{D ,} (1.9)

N_{A .} (1.10)

Учитывая, что в любом полупроводнике = , получаем формулы для расчета равновесной концентрации неосновных носителей заряда:

, (1.11)

. (1.12)

Как видно из приведенных выражений, с ростом концентрации примеси концентрация неосновных носителей резко уменьшается, что объясняется резким увеличением скорости рекомбинации при увеличении концентрации основных носителей заряда. Для иллюстрации сказанного предположим, что в монокристалл кремния введена донорная примесь с концентрацией N_D Тогда в соответствии с (1.9) концентрацияэлектронов ( основных носителей) . С учетом того, что при Т = 300 К собственная концентрация электронов составляет примерно ,концентрация дырок (неосновных носителей) в соответствии с (1.11) будет равна .Таким образом концентрации основных и неосновных носителей различаются на десять (!) порядков.

На рис. 1.5 приведены зависимости концентрации основных и неосновных носителей заряда в полупроводнике - типа от температуры. Как видно из рисунка, можно выделить три характерных участка на оси

 

Рис. 1.5. Зависимости концентрации основных и неосновных носителей заряда от температуры.

 

температуры (обозначены цифрами), различающиеся поведением концентрации основных носителей заряда (электронов). Конкретные границы этих участков могут заметно различаться для разных материалов, но характер физических процессов при этом сохраняется.

На 1-ом (самом «холодном») участке тепловая генерация выражена очень слабо, потому концентрация дырок остается на несколько порядков ниже концентрации донорной примеси N_D, и ее график совпадает с осью абсцисс. С другой стороны, на этом участке происходит интенсивная ионизация атомов донорной примеси, и концентрация электронов увеличивается. На границе 1-го и 2-го участков вся примесь оказывается ионизированной и более не может поставлять электроны. Тепловая генерация постепенно усиливается, но ее вклад в увеличение концентрации электронов и дырок проявляется только вблизи границы 2-го и 3-го участков. Соответственно концентрация электронов (основных носителей заряда) в пределах 2-го участка остается примерно постоянной и значительно превышает концентрацию дырок (неосновных носителей). На 3-ем участке за счет усиления тепловой генерации концентрации электронов и дырок резко возрастают и постепенно выравниваются между собой. Таким образом, как отмечалось в п. 1.3, примесный полупроводник с ростом температуры теряет примесные свойства.

Поскольку для стабильной работы полупроводниковых приборов концентрация носителей заряда в них не должна сильно зависеть от температуры, очевидно, что диапазон рабочих температур полупроводниковых приборов ограничен 2-ым участком рассмотренного графика.

С учетом того, что в примесных полупроводниках помимо подвижных зарядов основных и неосновных носителей имеются неподвижные заряды ионизированных атомов примеси, запишем условия электронейтральности для электронного и дырочного полупроводников

+ N_D N_D,(1.13)

+ N_A N_A. (1.14)

Токи в полупроводниках

 

Как известно, электрическим током называется направленное движение свободных носителей заряда. В полупроводниках имеются два типа носителей заряда – электроны и дырки. Поэтому ток в полупроводнике имеет две составляющие – электронную и дырочную. При этом движение электронов и дырок может вызываться двумя причинами. Первой причиной является электрическое поле. Направленное движение частиц под действием электрического поля называется дрейфом. Соответственно ток, который переносят при этом электроны и дырки называется дрейфовым током или током проводимости. Второй причиной направленного движения частиц является их неравномерное распределение в полупроводнике. Движение частиц вследствие неравномерного их распределения называется диффузией и никак не связано с зарядом частиц. Ток, который при этом переносят частицы, называется диффузионным током.

Следует иметь в виду, что за направление электрического тока принято направление движения положительно заряженных частиц. Поэтому направление дырочных составляющих как дрейфового, так и диффузионного тока совпадают с направлением движения дырок. Электроны же, как отрицательно заряженные частицы, создают ток направленный навстречу их движению.

Под действием электрического поля отрицательно заряженные электроны и положительно заряженные дырки движутся в противоположных направлениях. При этом с учетом вышесказанного электронная и дырочная составляющие дрейфового тока совпадают по направлению. В относительно слабых электрических полях (Е ) дрейфовые скорости электронов и дырок (усредненные скорости их направленного движения под действием электрического поля) пропорциональны напряженности электрического поля

= E, (1.15)

= E. (1.16)

Коэффициенты пропорциональности и называются подвижностями электронов и дырок соответственно. В силу различного характера движения электронов и дырок подвижность электронов оказывается выше подвижности дырок ( ). В разных материалах подвижности электронов и дырок различны.

Плотность дрейфового тока (сила тока, отнесенная к площади поперечного сечения потока частиц), переносимого электронами и дырками,

пропорциональна их скорости и концентрации

= = E,(1.17)

= ,(1.18)

где - взятый по модулю заряд электрона.

Складывая (1.17) и (1.18) получаем выражение для суммарной плотности дрейфового тока

= + = q + p )E = , (1.19)

где в качестве коэффициента пропорциональности между напряженностью поля и плотностью дрейфового тока выступает удельная электрическая проводимость полупроводника q + p ). Заметим, что выражение (1.19) представляет собой дифференциальную форму закона Ома.

Важно установить от чего зависят удельные электрические проводимости собственного и примесных полупроводников. В собственном полупроводнике n_i = p _i, поэтому

= q + ). (1.20)

В примесных полупроводниках, поскольку n_{n >>} p_n и p_{p >>} n_p, можно пренебречь вкладом в дрейфовый ток неосновных носителей. Тогда учитывая, что N_D и N_{A ,} получаем

q , (1.21)

q . (1.22)

Отметим, что подвижность частиц изменяется довольно слабо (подробнее об этом чуть ниже). Поэтому в собственном полупроводнике удельная электрическая проводимость определяется в основном температурой, поскольку именно от нее экспоненциально зависит собственная концентрация. В примесных полупроводниках главным фактором, определяющим величину удельной проводимости, является концентрация примесных атомов, которая может изменяться на несколько порядков.

Необходимо иметь в виду, что подвижность заряженных частиц зависит от температуры. Эта зависимость связана с тем, что с ростом температуры увеличивается амплитуда тепловых колебаний атомов кристаллической решетки, и соответственно уменьшается длина свободного пробега частиц между соударениями с атомами. В результате снижается их дрейфовая скорость, что при неизменной напряженности поля эквивалентно уменьшению подвижности частиц. Как уже отмечалось, уменьшение подвижности с ростом температуры происходит довольно слабо (в кремнии это происходит пропорционально . В результате при постоянной величине концентрации основных носителей (на 2-ом участке приведенного на рис. 1.5 графика) аналогичным образом уменьшается удельная электрическая проводимость.

На рис. 1.6 приведен график зависимостей подвижности и дрейфовой скорости электронов от напряженности электрического поля (подобным же образом выглядят аналогичные зависимости для дырок). В относительно слабых полях (Е ) энергия, которую получают частицы от поля на длине свободного пробега, не превышает энергии их теплового движения, равной 3/2 kT. При этом потери энергии частиц при их столкновениях с атомами относительно невелики, и подвижность частиц остается постоянной, а дрейфовая скорость линейно растет с увеличением напряженности поля. В более сильных полях частицы приобретают энергию превышающую энергию теплового движения. В этом случае частицы называют «горячими». При этом потери энергии при столкновениях с атомами настолько увеличиваются, что рост дрейфовой скорости замедляется, что эквивалентно уменьшению подвижности. При Е происходит насыщение дрейфовой скорости частиц. В кремнии скорость насыщения составляет .

Рис. 1.6. Зависимости подвижности и дрейфовой скорости электронов от напряженности электрического поля.

 

Выражения для плотностей электронной и дырочной составляющих диффузионного тока приведены в [1,2]:

, (1.23)

, (1.24)

где и – коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно. Противоположные знаки в выражениях (1.23) и (1.24) отражают противоположное направление электронной и дырочной составляющих диффузионного тока. Следует отметить, что плотности обеих составляющих диффузионного тока определяются градиентами (пространственными производными) соответствующих концентраций. При этом поскольку пространственное распределение концентрации частиц в общем случае может быть нелинейным, градиенты соответствующих концентраций и, следовательно, плотности соответствующих составляющих диффузионного тока являются функциями продольной координаты х.

Коэффициенты диффузии электронов и дырок линейно связаны с их подвижностями соотношениями Эйнштейна

= , (1.25)

= , (1.26)

где – термический (тепловой, температурный) потенциал. Заметим, что при Т = 300 К . Линейная связь коэффициентов диффузии с подвижностями частиц позволяет сделать выводы о том, что .

В общем случае при наличии электрического поля и неравномерного распределения концентрации носителей заряда полный ток в полупроводнике равен

j = + + . (1.27)