Алгоритм цифровой подписи RSA

Первой и наиболее известной во всем мире конкретной системой ЭЦП стала система RSA, математическая схема которой была разработана в 1977 г. в Массачусетском технологическом институте США.

Сначала необходимо вычислить пару ключей (секретный ключ и открытый ключ). Для этого отправитель (автор) электронных документов вычисляет два больших простых числа Р и Q, затем находит их произведение

N = P × Q и значение функции j (N) = (P – 1)×(Q – 1).

Далее отправитель вычисляет число e из условий: e < j (N), НОД (e, j (N)) = 1, и число d из условий: d < N, .

Пара чисел (e, N) является открытым ключом. Эту пару чисел автор передает партнерам по переписке для проверки его цифровых подписей. Число d сохраняется автором как секретный ключ для подписывания.

Обобщенная схема формирования и проверки цифровой подписи RSA показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Обобщенная схема формирования и проверки ЭЦП RSA.

Допустим, что отправитель хочет подписать сообщение М перед его отправкой. Сначала сообщение М (блок информации, файл, таблица) сжимают с помощью хэш-функции h () в целое число m: m = h (M).

Затем вычисляют цифровую подпись S под электронным документом М, используя хэш-значение m и секретный ключ d:

S = m^d (mod N).

Пара (M, S) передается партнеру-получателю как электронный документ М, подписанный цифровой подписью S, причем подпись S сформирована обладателем секретного ключа d.

После приема пары (M, S) получатель вычисляет хэш-значение сообщения М двумя разными способами. Прежде всего он восстанавливает хэш-значение m' применяя криптографическое преобразование подписи S с использованием открытого ключа e:

m' = S ^e (mod N).

Кроме того, он находит результат хэширования принятого сообщения М с помощью такой же хэш-функции h (): m = h (M). Если соблюдается равенство вычисленных значений, т.е. S ^e (mod N) = h (M), то получатель признает пару (M, S) подлинной. Доказано, что только обладателе секретного ключа d может сформировать цифровую подпись S по документу М, а определить секретное число d по открытому числу e не легче, чем разложить модуль N на множители.

Кроме того, можно строго математически доказать, что результат проверки цифровой подписи S будет положительным только в том случае, если при вычислении S был использован секретный ключ d, соответствующий открытому ключу e. Поэтому открытый ключ e иногда называют "идентификатором" подписавшего.

Недостатки алгоритма цифровой подписи RSA.

1. При вычислении модуля N, ключей e и d для системы цифровой подписи RSA необходимо проверять большое количество дополнительных условий, что сделать практически трудно. Невыполнение любого из этих условий делает возможным фальсификацию цифровой подписи со стороны того, кто обнаружит такое невыполнение. При подписании важных документов нельзя допускать такую возможность даже теоретически.

2. Для обеспечения криптостойкости цифровой подписи RSA по отношению к попыткам фальсификации на уровне, например, национального стандарта США на шифрование информации (алгоритм DES), т.е. 10¹⁸, необходимо использовать при вычислениях N, d и e целые числа не менее 2⁵¹² (или около 10¹⁵⁴) каждое, что требует больших вычислительных затрат, превышающих на 20...30% вычислительные затраты других алгоритмов цифровой подписи при сохранении того же уровня криптостойкости.

3. Цифровая подпись RSA уязвима к так называемой мультипликативной атаке. Иначе говоря, алгоритм цифровой подписи RSA позволяет злоумышленнику без знания секретного ключа d сформировать подписи под теми документами, у которых результат хэширования можно вычислить как произведение результатов хэширования уже подписанных документов.

Допустим, что злоумышленник может сконструировать три сообщения М ₁ М ₂ и М ₃, у которых хэш-значения m ₁ = h (M ₁), m ₂ = h (M ₂), m ₃ = h (M ₃), причем m ₃ = m ₁ × m ₂ (mod N). Допустим также, что для двух сообщений M ₁ и М ₂ получены законные подписи S ₁ = m ₁ ^d (mod N) и S ₂ = m ₂ ^d (mod N). Тогда злоумышленник может легко вычислить подпись S ₃ для документа М ₃ даже не зная секретного ключа d: S ₃ = S ₁ × S ₂ (mod N). Действительно,

S ₁ × S ₂ (mod N) = m ₁ ^d × m ₂ ^d (mod N) = (m ₁ × m ₂) ^d (mod N) = m ₃ ^d (mod N) = S ₃.