Данный вопрос в традиционной образовательной системе (1-4) изучается во 2 классе. Для подготовки учащихся к усвоению смысла умножения целых неотрицательных чисел, целесообразно вести счет групп предметов. Например: считай двойками, считай тройками и т.д. А так же предлагать задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых.
Например:
1) В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?
2) В первой коробке 3 карандаша, во второй – 6, в третьей – 8. сколько всего карандашей в коробках?
Подобные задачи полезно иллюстрировать предметными рисунками. Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых. Затем сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24; 6 • 4=24). Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, записью умножения, усваивают роль множителей.
Пример. Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка? Учащиеся записывают решение: 5+5+5+5=20 Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (они одинаковые). Сколько их?(4). Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5 • 4=20. Читают эту запись так: по 5 взяли 4 раза, получили 20. здесь выполнили действие умножения. Сложение одинаковых слагаемых называется умножением. Умножение обозначается знаком (•). Что показывает в этой записи число 5? (число 5 – слагаемое). Что показывает число 4? (сколько раз взяли слагаемым число 5).
Умножение целых неотрицательных чисел можно ввести иначе: при помощи предметных действий, что позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изучаемый материал.
Учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные части (квадраты). Нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Учащиеся, естественно, начинают действовать способом поединичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Учитель ставит задачу: найти более простой путь поиска ответа. Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (9) и повторить это число слагаемым 6 раз (9+9+9+9+9+9). После этого учитель вводит новую запись: 9 • 6=54 и предлагает сопоставить эти две записи. Выясняется, что обозначает во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых).
Проверить усвоение смысла умножения целых неотрицательных чисел можно при помощи следующей системы закрепляющих упражнений:
замени, где возможно, сложение умножением:
7+7+7+7 19+19+119
3+3+13+3+13 0+0+0+0
8+8+8 1+1+1+1+1+11
замени умножение сложением:
6 • 5, 9 • 2, 3 • 8
выбери рисунок, который соответствует записи 2 • 6
не вычисляя значений произведений, поставь знаки < или >, чтобы получить верные неравенства:
12 • 9 … 12 • 11
24 • 7 … 24 • 5
можно ли, не вычисляя произведений, ответить на вопрос: на сколько значение первого произведения в каждом столбике меньше значения второго произведения?
6 • 4 5 • 3 7 • 8 6 • 3 7 • 2
6 • 5 5 • 4 7 • 9 6 • 5 7 • 4
вычисли значения произведений в каждом столбике, пользуясь данным равенством:
9 • 5=45 8 • 7=56 7 • 6 =42
9 • 4 8 • 6 7 • 5
9 • 6 8 • 8 7 • 7
Этапы изучения умножения в начальном курсе математики:
I этап. Ознакомление с умножением. На этом этапе дети знакомятся:
с конкретным смыслом умножения – суммой одинаковых слагаемых. Результат действия умножения на этом этапе находят, заменяя умножение сложением. Например: 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15;
с записью арифметического действия;
с чтением выражений. Например: 5 × 3: «Пять умножить на три», «Пять взять три раза».
знакомятся с названием компонентов «множитель» и «произведение».
После этого знакомства выражение 5 × 3 может быть прочитано: «Произведение пяти и трех», «Первый множитель – 5, второй – 3, найти произведение».
II этап. Изучение таблиц умножения. На этом этапе дети:
изучают переместительный закон умножения;
составляют и заучивают наизусть таблицы умножения чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждая таблица начинается со случая умножения числа самого на себя;
знакомятся с особыми случаями умножения: умножение на 1; умножение на 0;
знакомятся с отношением «больше в …». После этого знакомства добавляются варианты чтения выражений. Например: 5 × 3: «Пять увеличить в три раза»;
III этап. Изучение приемов внетабличного умножения. На этом этапе дети знакомятся:
со свойствами умножения в явной или опосредованной форме;
с приемами внетабличного умножения:
умножение круглых чисел, например: 50 × 3. 5 × 30;
умножение двузначного числа на однозначное, например: 24 × 3;
IVэтап. Изучение приемов умножения чисел до 1000 и многозначных чисел. На этом этапе дети:
закрепляют вычислительные приемы умножения, основанные на знании свойств умножения. Например: 80 × 3, 84 × 4, 36 × 600, 3600 × 3;
знакомятся с алгоритмами письменного умножения:
умножение многозначного числа на однозначное;
умножение многозначного числа на круглое число, содержащее только одну цифру, отличную от нуля;
умножение многозначного числа на двузначное, трёхзначное, многозначное число, умножение круглых многозначных чисел.
873 873 873 8730
* * * *
4 400 42 4200
42. Методика изучения правил деления в начальном курсе математики и их использование для устных приемов деления в пределах сотни.
Для выполнения устного деления, учащиеся исп различные вычислительные приемы. Овладение вычислит приемами предполагает усвоение нумерации чисел в пределах 100 (разрядного состава двузначного числа), табличных случаев умножения (деления), свойств деления суммы на число.
Знакомство со свойством деления суммы на число происходит в 3 классе (1–4). Методика знакомства такова. Учитель дает пример (6+4):2 и предлагает решить его. Дети вычисляют сумму и делят на число. Затем учитель предлагает решить пример другим способом (для этого он использует рисунок). Дети, опираясь на графическую модель, делят на число каждое слагаемое и полеченные результаты складывают: (6+4):2=6:2+4:2=3+2=5 Далее даются следующие упражнения на закрепление:
1.Сделай рисунок и реши двумя способами. (6+3):3
2.Вычисли с устным объяснением: (11+13):6 (80+16):4 (30+21):3
3.Составь задачу по выражению: (20+30):5 Объясни разными способами ее решения. 4.Замени числа 60 и 75 суммой двух слагаемых, каждое их которых делится на 5. 5.Выполни действия в указанном порядке: (62+18):8 (36+27):9 (46+16):7
| Свойство деления произведения на число вводится в 4 классе. Но после знакомства детей со свойством деления суммы на число можно познакомить детей со свойством деления произведения на число. В этом случае можно предложить детям ситуацию: заменить в выражении знак сложения на знак умножения и вычислить: (4+6):2 (4•6):2=24:2=12 (дети перемножают числа в скобках, и полученный результат делят на 2). Затем можно предложить детям решить другим способом. У них может получится: (4+6):2= 4:2+6:2=2+3=5. Получились разные ответы. Почему? В чем ошибка? Какое действие потеряли? Учитель подводит детей к выводу: второй способ решения таков: разделить один из множителей на число и умножить полученный результат на второй множитель то есть: (4+6):2=4:2•6=2•6=12 или (4+6):2= 6:2•4=3•4=12. Далее даются упражнения для закрепления: |
1. Найди значение выражения двумя способами (8•6):2
2. Вычисли произведение и раздели полученный результат на число: (3•9):3
3. Раздели на число один из множителей, а потом полученное число умножь на другой множитель(18•4):2
4. Выполни действия в указанном порядке: (6•7):3 (5•9):3 (10•4):2 Какие примеры можно решить двумя способами? Почему?
5. Составь задачу по выражению: (14•6):3
В начальном курсе математики приемы устного деления используются при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное. В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит св-во деления суммы на число. Однако методика формирования вычислительных умений может быть различной.
ПОДХОД
| В учебнике М2М выделяются 3 случая деления двузначного числа на однозначное и каждый из них отрабатывается отдельно: 1) 46: 2, 96: 3 2) 36: 2, 65: 5 3) 70: 2, 96: 4 Для каждого случая дается образец действия: 1) 46: 2 = (40 + 6): 2 = 40: 2 + 6: 2 = 20 + 3 = 23 2) 36: 2 = (20 + 16): 2 = 20: 2 + 16: 2 = 10 + 8 = 18 3) 96: 4 = (80 + 16): 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24 Ориентируясь на образец, уч-ся выполняют тренировочные упражнения, в процессе которых закрепляются определенные способы действия. В 1-ом случае делимое представляется в виде суммы разрядных слагаемых и затем используется св-во деления суммы на число. Во 2-ом случае делимое представляется в виде суммы «удобных слагаемых». В кач-ве одного из таких слагаемых, выделяются разрядные десятки, которые дети умеют делить на данное число. В 3-ем случае в качестве одного из слагаемых выступает наибольшее число разрядных десятков, которые делятся на данный делитель. 2 ПОДХОД Учебник М2И сориентирован на формирование общего способа действия, (т.е. делимое представляется в виде суммы 2-х слагаемых, каждое из которых делится на данное число) и на осознание его частных вариантов. Задания: 1)вычисли значение выражения 52: 4 Миша: я думаю, нужно представить 52 в виде суммы 2-х слагаемых, которые делятся на 4 и полученные результаты сложить: (28 + 24): 4 = 28: 4 + 24: 4 = 7 + 6 = 13 какие еще выражения можно составить? 2) догадайся, как рассуждал Миша, вычисляя значение выражения: 72: 6 = (60 + 12): 6 =... 84: 7 = (70 + 14): 7 =... чем похожи выражения в скобках? 3) какие числа надо вставить в Š, чтобы получились верные равенства: (30 + Š): 3 = 30: 3 + Š: 3 4) запиши выражение в виде частного 2-х чисел и найди значение: (80+4): 4; 5) на какие группы можно разбить все выражения: 64: 8 36: 2 48: 8 48: 4 48: 3 36: 9 36: 3 64: 2 64: 4 При делении двузначных чисел на двузначное число уч-ся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления. |
